Понятие ортогональности

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #359409 писал(а):

Как говорит один участник, "любую вещь можно назвать трамваем".

Предание приписывает эту фразу академику Лузину.

[Виктор Викторов]

Ponchik в сообщении #360402 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #360398 писал(а):

Любую вещь можно назвать трамваем. Об этом нужно только договориться.

(Оффтоп)

-Ты пэрсик видэл?
-Видэл!
-Так вот, трамвай на пэрсик совсэм не похож!

Ponchik, Вам нужно на другой сайт. Там (на другом сайте) веселее. Кстати, на этом сайте разговаривают на Вы.

[Time]

STilda в сообщении #360357 писал(а):

Делители нуля тоже возникли из произведения ДВУХ чисел. Вы встречали ТРОЙСТВЕННЫЕ делители нуля в гиперкомплексных числах?

Гиперкомплексные числа по определению связаны с постулированием БИНАРНЫХ операций. То, что Вы имеете ввиду, если и есть, то связано с объектами, на множестве которых заданы n-арные операции. Такие алгебры на много хуже изучены.

STilda в сообщении #360357 писал(а):

Интересно что системы с делителями нуля выкинули из рассмотрения.

Да, есть такой факт в истории гиперкомплексных чисел. В силу ряда причин математики не любят алгебры с делителями нуля, предпочитая им кватернионы и октавы, делителей нуля не имеющие..

STilda в сообщении #360357 писал(а):

взамен их взяли векторное пространство, в котором по сути и ввели опять возможность делителей нуля в роли ортогональных векторов. Если же включить в расмсотрение числа с делителями нуля то векторные пространства можно выкинуть.

Не думаю, что стОит выкидывать векторные пространства и взамен их рассматривать исключительно гиперкомплексные. Одно другому совершенно не мешает, лишь бы сторонники векторных пространств также не выкидывали гиперкомплексные алгебры с делителями нуля, зато с коммутативно-ассоциативным умножением, что фактически произошло после признания кватернионов.

[ewert]

STilda в сообщении #360357 писал(а):

Интересно что системы с делителями нуля выкинули из рассмотрения.

Щас. И все матрицы вообще -- тоже выкинули?... интересно, когда это случилось?...

[Time]

ewert в сообщении #360438 писал(а):

Щас. И все матрицы вообще -- тоже выкинули?... интересно, когда это случилось?...

STilda, скорее всего, имел ввиду гиперкомплексные числа, обобщающие алгебры действительных и комплексных чисел. Для выделения таких по теореме Фробениуса обычно оставляют только алгебры с делением (без делителей нуля), среди которых кватернионы Гамильтона и октавы Кэли. Неужели Вы еще какие-то гиперкомплексные алгебры достаточно хорошо знаете? Любопытно узнать - какие? А ведь их бесконечное множество.. Матрицы же, как правило, с гиперкомплексными числами не связаны. Одна из основных причин практически нулевой известности любых гиперкомплексных алгебр, кроме кватернионов и октав как раз и являются делители нуля, которые народ, ну никак, не хотел видеть в интересных ему алгебрах.. А случилось это еще в позапрошлом веке, примерно тогда, когда была доказана теорема Фробениуса, а вместе с этим угас интерес почти ко всем алгебрам не имеющим такого же деления как в действительных числах и в комплексных. Между тем - зря, так как многие из алгебр с делителями нуля обладают очень богатыми свойствами, пригодными среди прочего и для физики..

-- Сб окт 09, 2010 22:10:24 --

Ponchik в сообщении #360284 писал(а):

ИМХО
Ортогональность как-то связана с понятием симметрии проекции прямой на другие прямые, когда проекция прямой обращается в ноль, т.е. в точку.

Все правильно. Только проекции разные бывают. Большинство привыкло и умеет спокойно проецировать в основном в евклидовых или псевдоевклидовых пространствах. А попробуйте также запросто спроектировать один вектор на направление другого в финслеровом линейном пространстве. То, что в квадратичных метриках легко и естественно - тут часто приобретает необычный вид и требует специфического подхода.

[Ponchik]

Time в сообщении #360448 писал(а):

А попробуйте также запросто спроектировать один вектор на направление другого в финслеровом линейном пространстве. То, что в квадратичных метриках легко и естественно - тут часто приобретает необычный вид и требует специфического подхода.

No comment! (Перевод - нифига не понял)!

(Оффтоп)

Не осилил! Поэтому пришлось для комментария воспользоваться столь же непонятным языком!

[Руст]

Time в сообщении #360448 писал(а):

Все правильно. Только проекции разные бывают. Большинство привыкло и умеет спокойно проецировать в основном в евклидовых или псевдоевклидовых пространствах. А попробуйте также запросто спроектировать один вектор на направление другого в финслеровом линейном пространстве. То, что в квадратичных метриках легко и естественно - тут часто приобретает необычный вид и требует специфического подхода.

Как я однажды писал финслеровы пространства бывают двух типов: Евклидова типа ( с выпуклой индикатрисой с неравенством треугольника) и типа Минковского ( с вогнутой индикатрисой, где неравенство треугольника выполняется в обратную сторону). Проекция (точнее почти проекция) опредена в банаховых пространствах. Все конечномерные пространства с метрикой ( в том числе финслеровой метрикой, где нет скалярного произведения) являются банаховыми и тут за за счет конечномерности можно убрать дополнение "почти". Только банаховы пространства являются пространствами с метрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Соответственно проекция вектора $a$ на вектор $b$ определяется как $tb$, где число $t$ выбирается из условия минимальности $|a-tb|$. В пространствах Минковского типа с обратным неравенством треугольника $t$ выбирается из условия максимальности $|a-tb|$.

[ewert]

Руст в сообщении #360538 писал(а):

банаховы пространства являются пространствами с метрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Соответственно проекция вектора $a$ на вектор $b$ определяется как $tb$, где число $t$ выбирается из условия минимальности $|a-tb|$.

Так уж и определяется. Это число ведь, вообще говоря, не единственно.

[Руст]

ewert в сообщении #360539 писал(а):

Так уж и определяется. Это число ведь, вообще говоря, не единственно.

Как раз неравенство треугольника или его обратное неравенство обеспечивает единственность минимума, соответственно максимума.

[ewert]

Руст в сообщении #360541 писал(а):

Как раз неравенство треугольника или его обратное неравенство обеспечивает единственность минимума, соответственно максимума.

Только если норма строгая. Что вовсе не обязательно.

[Time]

Руст в сообщении #360538 писал(а):

Как я однажды писал финслеровы пространства бывают двух типов: Евклидова типа ( с выпуклой индикатрисой с неравенством треугольника) и типа Минковского ( с вогнутой индикатрисой, где неравенство треугольника выполняется в обратную сторону).

Многие математики по данному признаку делят пространства с неквадратичным типом метрической функции на собственно финслеровы и псевдофинслеровы. В частности, такого разделения придерживаются известные Вам Владимир Балан и Жонгмин Шен.
Вопрос: к какому из этих двух типов отнести пространство, связанное с алгеброй, являющейся прямой суммой двух комплексных алгебр? То есть пространство бикомплексных чисел?

[Руст]

Да в некоторых вопросах, как и здесь требуется строгое выполнение неравенства треугольника:
$|a+b|\le |a|+|b|$, где равенство возможно только в случае коллинеарности. Аналогично для обратного треугольника
$|a+b|\ge |a|+|b|$ для пространств Минковского типа.

[ewert]

Только это я и имел в виду -- что нехорошо поминать имя Банаха всуе.

[Руст]

Time в сообщении #360544 писал(а):

Руст в сообщении #360538 писал(а):

Как я однажды писал финслеровы пространства бывают двух типов: Евклидова типа ( с выпуклой индикатрисой с неравенством треугольника) и типа Минковского ( с вогнутой индикатрисой, где неравенство треугольника выполняется в обратную сторону).

Многие математики по данному признаку делят пространства с неквадратичным типом метрической функции на собственно финслеровы и псевдофинслеровы. В частности, такого разделения придерживаются известные Вам Владимир Балан и Жонгмин Шен.
Вопрос: к какому из этих двух типов отнести пространство, связанное с алгеброй, являющейся прямой суммой двух комплексных алгебр? То есть пространство бикомплексных чисел?

Там всегда возникает финслерова метрика Минковского типа. Как и в псевдоевклидовых метриках с сигнатурой +------. Вообще наличие делителей нуля в поличислах приводит к вогнутости индикатрисы и к обратному неравенству треугольника.

-- Вс окт 10, 2010 08:51:23 --

ewert в сообщении #360547 писал(а):

Только это я и имел в виду -- что нехорошо поминать имя Банаха всуе.

Просто это в банаховых пространствах (без скалярного произведения) давно определенное и используемое в вариационных задачах понятие.

[Time]

Руст в сообщении #360549 писал(а):

Там всегда возникает финслерова метрика Минковского типа. Как и в псевдоевклидовых метриках с сигнатурой +------. Вообще наличие делителей нуля в поличислах приводит к вогнутости индикатрисы и к обратному неравенству треугольника.

Тогда предлагаю рассмотреть треугольник в четырехмерном пространстве бикомплексных чисел с вершинами в начале координат и на концах векторов $1$ и $i$, где $1$- действительная единица, а $i$- обычная эллиптически мнимая единица. Хотите сказать что для ТАКОГО треугольника неравенство обратное?