Производная в целой точке

[Xenia1996]

Может ли производная функции $f(x)=0.25x^4-x^3+x^2+2009x$ быть равной нулю в некоторой целочисленной точке?
*Под целочисленной точкой я имела в виду точку на декартовой плоскости, обе координаты которой являются целыми числами.

(Оффтоп)

Лично я полагаю, что не может.
Эта производная будет равна $x^3-3x^2+2x+2009$. Если точка является целочисленной, то $x$ - целое. Решим в целых числах уравнение $x^3-3x^2+2x+2009=0$

$x(x^2-3x+2)=-2009$

$x(x-1)(x-2)=-2009$
Среди трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3, а значит, на 3 должно делиться и произведение этих трёх чисел. Но $-2009$ на 3 не делится.
Если я снова ошиблась, то в чём я блондинка на этот раз?

[Nilenbert]

Какие обе координаты? Вы имеете в виду точки вида $(x, f(x))$ или что?

[Xenia1996]

Nilenbert в сообщении #360160 писал(а):

Какие обе координаты? Вы имеете в виду точки вида $(x, f(x))$ или что?

Координаты на декартовой плоскости - это $x$ и $y$.
Да, Вы правы, я должна была написать $y=f(x)=0.25x^4-x^3+x^2+2009x$

[Null]

Эта функция определенна на одной переменной.
Как вы проверите её значение в точке (0,1)?

[ИСН]

"Может ли какой-нибудь экстремум графика функции располагаться в точке с цело..." - так было бы корректнее.

[Xenia1996]

Null в сообщении #360165 писал(а):

Эта функция определенна на одной переменной.
Как вы проверите её значение в точке (0,1)?

А, кажется, поняла. Вы подумали про функцию от двух переменных. Нет, я имела в виду функцию от переменной $x$. Её график представляет собой кривую на плоскости. Эта кривая содержит точки, некоторые из которых являются целочисленными. Скажем, если взять точку $(0, 0)$, то функция в ней будет равна нулю, но производная - нет.

-- Пт окт 08, 2010 14:11:14 --

ИСН в сообщении #360166 писал(а):

"Может ли какой-нибудь экстремум графика функции располагаться в точке с цело..." - так было бы корректнее.

Полностью согласна с Вами. Я только учусь и путь мой тернист.

[Null]

Просто если вопрос стоит так:

Цитата:

Может ли производная функции $f(x)=0.25x^4-x^3+x^2+2009x$ быть равной нулю в некоторой целочисленной точке?

то эта точка одно число.(ПМСМ)

[Xenia1996]

Null в сообщении #360170 писал(а):

Просто если вопрос стоит так:

Цитата:

Может ли производная функции $f(x)=0.25x^4-x^3+x^2+2009x$ быть равной нулю в некоторой целочисленной точке?

то эта точка одно число.(ПМСМ)

Почему? Разве график функции (как и график её производной) не является кривой на плоскости? И разве он не содержит некоторые точки этой плоскости?

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #360159 писал(а):

Лично я полагаю, что не может.
Эта производная будет равна $x^3-3x^2+2x+2009$. Если точка является целочисленной, то $x$ - целое. Решим в целых числах уравнение $x^3-3x^2+2x+2009=0$

$x(x^2-3x+2)=-2009$

$x(x-1)(x-2)=-2009$
Среди трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3, а значит, на 3 должно делиться и произведение этих трёх чисел. Но $-2009$ на 3 не делится.
Если я снова ошиблась, то в чём я блондинка на этот раз?

Нет, в этом случае Вы вовсе не блондинка (даже если и блондинка), почти наверняка составителями ровно так и было задумано.

Но, на всякий случай -- тупое решение той же задачки. Целочисленными корнями последней функции могли бы быть лишь делители числа 2009, т.е. лишь числа 41, 7 или 1, или их разные там произведения (ибо $2009=7\cdot7\cdot41$). Однако ни одно из них, очевидно (даже и считать честно не надо -- просто очевидно по порядкам величин слагаемых) корнем не является.

[Профессор Снэйп]

А что олимпиадного в этой задаче?

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #360174 писал(а):

А что олимпиадного в этой задаче?

В решении, предложенном топикстартёром, и которое явно подразумевалось авторами. В моём варианте -- конечно, решительно ничего.

Да, задачка странная; но каких только олимпиад в этом мире не случается.