Понятие ортогональности

[STilda]

Что мы вкладываем в это понятие, какие её проявления? Что существенно и что можно отбросить? Цель размышлений - как ввести понятие ортогональности в алгебру чисел.

У меня такие мысли:
1. Ортогональность визуальная. Это когда мы рисуем две прямых под 90 градусов, видим их и получаем представление об ортогональности.
2. Ортогональность векторов, в декартовой системе координат. Тут есть скалярное произведение равное нулю - алгебраическое выражение, вводящие понятие ортогональности. Тут же есть Ортогональность как независимость направлений, движение точки по одному из векторов никак "не видится" на ортогональном векторе.
3. Если взять кватернионы. Условие нулевого скалярного произведения превращается в условие, что действительная часть кватерниона $v_1*v_2$ равна нулю. Тоесть если мы не имели действительной компоненты $v_1=i x_1+j y_1+k z_1$, $v_2=i x_2+jy_2+k z_2$ то и произведение не будет иметь действительной компоненты.
4. Как на счет моделирование ортогональности делителями нуля?
5. Вообще, для понятия ортогональности нужны как минимум две операции на множестве объектов. На множестве с одной операцией возможно ли понятие ортогональности?

[paha]

STilda в сообщении #359318 писал(а):

Тоесть если мы не имели действительной компоненты $v_1=i x_1+j y_1+k z_1$, $v_2=i x_2+jy_2+k z_2$ то и произведение не будет иметь действительной компоненты.

вычислите "в лоб" $v_1v_2=\ldots$

[Андрей АK]

Для ортогональности нужна коммутативность.

Если алгебра некоммутативная, то должно быть коммутативная операция.

Например коммутатор - всегда коммутативная операция, можно его использовать для определения ортогональности.

Например, операторы дифференцирования , можно использовать для проверке ортогональности функций: функции 2x и 3y - ортогональны поскольку, производная (коммутатор) 2x по 3y или 3y по 2x равны нулю.

Получается, что ортогональность - это синоним слова "независимость".
Функции ортогональны, если они независимы.
Линейные функции (или вектора) ортогональны, если они линейно независимы.

Независимость в линейном случае проверяется произведением.

В нелинейном случае или в случае некоммутативности надо вводить специальные операторы (например, дифференцирования по направлению).

[ewert]

Андрей АK в сообщении #359399 писал(а):

Линейные функции (или вектора) ортогональны, если они линейно независимы.

Как говорит один участник, "любую вещь можно назвать трамваем". Даже и линейную независимость можно назвать ортогональностью, коли приспичит. Только вот почему-то никто так не поступает.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #359409 писал(а):

Андрей АK в сообщении #359399 писал(а):

Линейные функции (или вектора) ортогональны, если они линейно независимы.

Как говорит один участник, "любую вещь можно назвать трамваем". Даже и линейную независимость можно назвать ортогональностью, коли приспичит. Только вот почему-то никто так не поступает.

А ну да , независимыми могут быть и неортогональные вектора ...
Но я имел ввиду некую "базисную независимость".
Когда из ортогонально независимых векторов строится ортогональный базис.

[STilda]

Так как ввести понятие ортогональности двух чисел?

[caxap]

нод=1

[Time]

STilda в сообщении #360112 писал(а):

Так как ввести понятие ортогональности двух чисел?

Если это числа гиперкомплексные, то нужно разобраться, пространство с какой метрикой им соответствует (чаще всего это финслерово пространство), найти полилинейную симметрическую форму для соответствующей геометрии (она обобщает понятие скалярного произведения для пространств с билинейной симметрической формой) и, наконец, рассмотреть сколько получается различных вариантов полилинейных форм от двух векторов, значения которых могут принимать нулевую величину. В финслеровых пространствах ортогональность обобщается до понятия трансверсальности и последняя может быть нескольких типов. Например, для финслерова пространства соответствующего четверным числам (это прямая сумма четырех действительных алгебр) векторы a и b могут быть трансверсальны друг другу по трем различным вариантам, а именно, когда:
(a,a,a,b)=0;
(a,a,b,b)=0
и когда
(a,b,b,b)=0.
Это связано с тем, что роль скалярного произведения тут играет четырехлинейная симметрическая форма от четырех векторов (a,b,c,d). Числа, соответствующие таким векторам можно считать трансверсальными (обобщенно ортогональными) друг другу по соответствующему типу, или сразу по нескольким типам (если одновременно равны нулю несколько форм).
Что касается делителей нуля (а они имеются в алгебре четверных чисел), то они трансверсальны сами себе сразу по всем трем типам трансверсальности так как для таких чисел и соответствующих им векторов:
(e,e,e,e)=0.
В обычных квадратичных пространствах вариант трансверсальности пары векторов, очевидно, всего один, когда:
(a,b)=0.

[STilda]

Time, коли вы выходите за пределы визуальных аналогий, коли рассматриваете полинарное скалярное произведение, вопрос возникает такой. Почему трансверсальность только ДВУХ векторов? А если взять больше? Ортогональность ТРОЙКИ векторов, например, (a,b,c)=0. Может вы щупали данное направление?

[bot]

ewert в сообщении #359409 писал(а):

Как говорит один участник, "любую вещь можно назвать трамваем".

Хорошо бы при этом она была бы ещё и похожа на трамвай.
Придумывать вещь под готовое название - бестолковое занятие.

[Ponchik]

STilda в сообщении #359318 писал(а):

Ортогональность визуальная. Это когда мы рисуем две прямых под 90 градусов, видим их и получаем представление об ортогональности.

ИМХО
Ортогональность как-то связана с понятием симметрии проекции прямой на другие прямые, когда проекция прямой обращается в ноль, т.е. в точку.

[Time]

STilda в сообщении #360271 писал(а):

коли вы выходите за пределы визуальных аналогий, коли рассматриваете полинарное скалярное произведение, вопрос возникает такой. Почему трансверсальность только ДВУХ векторов? А если взять больше? Ортогональность ТРОЙКИ векторов, например, (a,b,c)=0. Может вы щупали данное направление?

Вы же сами спрашивали про ПАРЫ чисел.. Ваш новый вопрос о тройках и т.д. совершенно логичен и когда мы переходим от билинейной симметрической формы к полилинейной в качестве обобщения понятия скалярного произведения, имеет смысл говорить о трансверсальности не двух, а более векторов. В частности, в четырехмерном финслеровом пространстве связанном с упоминавшейся выше алгеброй четверных чисел естественно ввести следующее скалярное ПОЛИпроизведение:
$(a,b,c,d)=1/4!(a_1b_2c_3d_4+a_1b_2c_4d_3+...+a_4b_3c_2d_1)$
(так оно выглядит в наиболее удобном базисе, состоящем из изотропных векторов, которым соответствуют делители нуля).
Можно убедиться, что существуют такие четверки, для которых:
$(a,b,c,d)=0$. Более того, таких тетрад бесконечное множество, даже если рассматривать лишь единичные векторы, причем связаны они между собой трехпараметрической абелевой группой непрерывных преобразований, сохраняющих финслерову метрику данного пространства. Что еще более удивительно, данная группа симметрий поразительно похожа на преобразования Лоренца обычного пространства Минковского, только в отличие от тех, образует группу и сохраняет не квадратичные, а биквадратичные интервалы. А еще поразительно, что группа конформных проебразований данного пространства, сохраняющих в частности обсуждаемую трансверсальность четверки направлений локально, бесконечнопараметрическая и более богатая не только по сравнению с 15-параметрической конформной группой пространства Минковского, но и по сравнению с конформной группой двумерных псевдоримановых пространств, составляющей симметрийную основу современной теории суперструн.
Так что, вон куда Ваш вопрос об ортогональности уводит..

[STilda]

Цитата:

(так оно выглядит в наиболее удобном базисе, состоящем из изотропных векторов, которым соответствуют делители нуля).

А правда ли, что если в системе гиперкомплексных чисел есть делители нуля, то из них можно составить базис, и выразить любое число через них?

[Time]

STilda в сообщении #360319 писал(а):

А правда ли, что если в системе гиперкомплексных чисел есть делители нуля, то из них можно составить базис, и выразить любое число через них?

В коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных числах это, действительно, похоже, верно. Кстати, без делителей нуля тут только две алгебры - действительных чисел и комплексных, все остальные в соответствии с теоремой Фробениуса имеют делители нуля. Как обстоит дело в некоммутативных или неассоциативных алгебрах гиперчисел - не знаю, я ими практически не занимался.

[STilda]

Делители нуля тоже возникли из произведения ДВУХ чисел. Вы встречали ТРОЙСТВЕННЫЕ делители нуля в гиперкомплексных числах? Тоесть когда $ab\ne0,bc\ne0,ac\ne0$ но $abc=0$
Интересно что системы с делителями нуля выкинули из рассмотрения. Но по сути, взамен их взяли векторное пространство, в котором по сути и ввели опять возможность делителей нуля в роли ортогональных векторов. Если же включить в расмсотрение числа с делителями нуля то векторные пространства можно выкинуть.