Конечная простая абелева группа циклична

[AlexandreII]

Добрый день!

Мне понадобилось восстановить доказательство, которое во всех учебниках считается очевидным:
Конечная простая абелева группа G является циклической.
Я придумал следующее:
Если $G = \{e\}$, то она циклическая.
Если $G\neq \{e\}$, то $\exists a \in G, a \neq e$.
Рассмотрим множество степеней: $H=\{e, a^1, a^2, ...\}$, оно конечно (поскольку сама G конечна), замкнуто относительно умножения, поэтому является подгруппой. Но G - простая, следовательно у нее нет других подгрупп, кроме {e} и самой G.
Так как $H \neq \{e\}$, то $H = G$. И понятно, что H - циклическая.

Но вот что меня смущает: здесь вроде не используется абелевость. Что мешает мне применить те же рассуждения к неабелевой конечной простой группе, например $A_n, n \ge 5$? Так и она станет циклической, что вроде бы неверно.
Не могу понять, где важна абелевость или может доказательство неверно?

[Null]

G-простая если у нее нет нормальных подгрупп кроме {e} и самой G.

[AlexandreII]

Отлично, спасибо!

Теперь я понял: в абелевой группе любая подгруппа нормальна (всегда $aH = Ha$), а в неабелевой некоторые подгруппы могут быть ненормальны