2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечная простая абелева группа циклична
Сообщение07.10.2010, 09:45 


04/05/10
57
Добрый день!

Мне понадобилось восстановить доказательство, которое во всех учебниках считается очевидным:
Конечная простая абелева группа G является циклической.
Я придумал следующее:
Если $G = \{e\}$, то она циклическая.
Если $G\neq \{e\}$, то $\exists a \in G, a \neq e$.
Рассмотрим множество степеней: $H=\{e, a^1, a^2, ...\}$, оно конечно (поскольку сама G конечна), замкнуто относительно умножения, поэтому является подгруппой. Но G - простая, следовательно у нее нет других подгрупп, кроме {e} и самой G.
Так как $H \neq \{e\}$, то $H = G$. И понятно, что H - циклическая.

Но вот что меня смущает: здесь вроде не используется абелевость. Что мешает мне применить те же рассуждения к неабелевой конечной простой группе, например $A_n, n \ge 5$? Так и она станет циклической, что вроде бы неверно.
Не могу понять, где важна абелевость или может доказательство неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечная простая абелева группа циклична
Сообщение07.10.2010, 09:59 
Заслуженный участник


12/08/10
1629
G-простая если у нее нет нормальных подгрупп кроме {e} и самой G.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечная простая абелева группа циклична
Сообщение07.10.2010, 11:11 


04/05/10
57
Отлично, спасибо!

Теперь я понял: в абелевой группе любая подгруппа нормальна (всегда $aH = Ha$), а в неабелевой некоторые подгруппы могут быть ненормальны

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group