fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Найти $f'(x)$, если
$$f(x)=\int_x^{\infty} e^{-xy} \,dy\quad (x>0).$$

Сначала продифференцирую по нижнему пределу, а потом внутри интеграла:
$$f'(x)=-e^{x\cdot x}\, x'+\int_x^{\infty} (e^{-xy})'_x\,dy=-e^{-x^2}-\int_x^{\infty} ye^{-xy}\,dy$$
А в задачнике написан такой ответ:
$$-\int_x^{\infty} y^2 e^{-xy^2}\,dy-e^{-x^3}.$$
Где я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Знаете, есть такой тип школьных заданий: вставить пропущенную букву.
Вот Вам задачник кагбе намекает нечто в этом роде. Найти: где в нём пропущена, исправлена, или добавлена цифра. Одна цифра. Может, в ответе, а может, в условии. Думайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Вон оно чё. Вы намекаете, что в условии наборщики пропустили квадрат у игрека? Я сейчас продифференцировал с ним -- получилось как в ответе. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 19:14 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 19:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Кстати, надо еще обосновать законность дифференцирования по параметру, так как интеграл -- несобственный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan
Он должен равномерно сходится? Если честно, не очень представляю, как это доказать. Когда ряды, там можно подобрать ряд, который будет мажорировать исследуемый. Здесь, видимо, нужно подобрать такую функцию, но ничего не придумывается. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:17 
Заслуженный участник


12/08/10
1718
Мажорировать надо не исследуемый интеграл а его производную

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Вот если бы нижний предел был постоянным, то правило такое -- продифференцированный интеграл должен равномерно сходиться в окрестности той точки, в которой мы считаем производную.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Может так:
для каждого конкретного $x=x_0>0$ выберем функцию $y^2 e^{-a y^2}$, где $a=x/2$. Тогда $|y^2 e^{-xy^2}|\leqslant y^2 e^{-a y^2}$ для всех $x\in(x_0,\infty)$. (Интеграл от правой функции от $0$ до $\infty$ сходится при любом положительном $a$.)

Извиняюсь, если бред пишу, просто про равномерную сходимость интегралов мельком слышал, в Демидовиче об этом ничего нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:34 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Все правильно, только в определении $a$ у икса нолик забыли. И лучше написать "для всех $x\in (a,+\infty)$, чтобы было в окрестности $x_0$.
Всё так же, как и для равномерной сходимости ряда -- признак Вейерштрасса называется.

-- Ср окт 06, 2010 23:38:52 --

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan в сообщении #359766 писал(а):
Все правильно, только в определении $a$ у икса нолик забыли.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 22:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 2273 (Дифференцирование по параметру)
Сообщение06.10.2010, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group