Помогите решить, пожалуйста.

, для положительных a,b,c,d
Воспользуйтесь AM-GM.

Следующее, более сильное неравенство, всё ещё лёгкое.
Пусть

,

,

и

- неотрицательные числа. Докажите, что:

а вот следующая радость немного посложнее будет.
Пусть

,

,

и

- неотрицательные числа. Докажите, что:
![$$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geq abcd\sqrt[4]{64(a^4+b^4+c^4+d^4)}$$ $$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geq abcd\sqrt[4]{64(a^4+b^4+c^4+d^4)}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/3/4030810f0b8014fdcfce469545c4066282.png)
Для трёх неотрицательных переменных ситуация пока следующая:
Похоже, что
![$a^4b+b^4c+c^4a\geq abc\sqrt[3]{9(a^6+b^6+c^6)}$ $a^4b+b^4c+c^4a\geq abc\sqrt[3]{9(a^6+b^6+c^6)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/3/9239708ed444706c7a27675decb9f50482.png)
верно,
а
![$a^4b+b^4c+c^4a\geq 3abc\left(\sqrt[7]{\frac{a^7+b^7+c^7}{3}}\right)^2$ $a^4b+b^4c+c^4a\geq 3abc\left(\sqrt[7]{\frac{a^7+b^7+c^7}{3}}\right)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9b9e9ba61092b412e7d5f01ec1a129f82.png)
уже неверно.
Следующее же неравенство верно и имеет красивое, но труднонаходимое (имхо) доказательство.
Пусть

,

и

- неотрицательные числа. Докажите, что:

Последние два верных неравенства можно записать красивее:
1.Для положительных

,

и

, для которых

, докажите, что

2. Для положительных

,

и

докажите, что:
