Олимпиадные задачи

[Батороев]

rid3r в сообщении #303489 писал(а):

Задача №2
Найти целые решения уравн 21р^2 + рq - 2q^2 = 19

$2q^2-pq-(21p^2-19)=0$

$q_{1,2}=\dfrac {p\pm\sqrt{p^2+8(21p^2-19)}}{4}$

$q_{1,2}=\dfrac {p\pm\sqrt{169p^2-152}}{4}$

$169p^2-152=m^2$

$$152$ - число вида $8P$, где $P$$ - простое, следовательно, оно раскладывается на разность квадратов двумя способами:

$152=169p^2-m^2=\left(\dfrac{76+2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{76-2}{2}\right)^2=39^2-37^2=\left(\dfrac{38+4}{2}\right)^2-\left(\dfrac{38-4}{2}\right)^2=21^2-17^2 $

Откуда имеем одно целое решение: $m=37$; $p=3$; $q=10$.

[maxal]

Батороев
Всё проще, как уже подметил ИСН:

ИСН в сообщении #303519 писал(а):

Во втором выражение слева равно (3p+q)(7p-2q). Hope this helps.

[Батороев]

(Оффтоп)

Каждый имеет право на собственное решение.
Решил от скуки...

[lim0n]

Батороев в сообщении #354399 писал(а):

Откуда имеем одно целое решение

Второе: $p=-3$; $q=-10$.

[Ivan_96]

Помогите решить, пожалуйста.
$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a>=abcd(a+b+c+d)$, для положительных a,b,c,d

[arqady]

Ivan_96 в сообщении #358517 писал(а):

Помогите решить, пожалуйста.
$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a>=abcd(a+b+c+d)$, для положительных a,b,c,d

Воспользуйтесь AM-GM.
Следующее, более сильное неравенство, всё ещё лёгкое.
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ - неотрицательные числа. Докажите, что:

$$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geq abcd\sqrt{4(a^2+b^2+c^2+d^2)}$$

а вот следующая радость немного посложнее будет.
Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ - неотрицательные числа. Докажите, что:

$$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geq abcd\sqrt[4]{64(a^4+b^4+c^4+d^4)}$$

Для трёх неотрицательных переменных ситуация пока следующая:
Похоже, что $a^4b+b^4c+c^4a\geq abc\sqrt[3]{9(a^6+b^6+c^6)}$ верно,
а $a^4b+b^4c+c^4a\geq 3abc\left(\sqrt[7]{\frac{a^7+b^7+c^7}{3}}\right)^2$ уже неверно.
Следующее же неравенство верно и имеет красивое, но труднонаходимое (имхо) доказательство.
Пусть $a$, $b$ и $c$ - неотрицательные числа. Докажите, что:

$$a^4b+b^4c+c^4a\geq abc(3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc))$$

Последние два верных неравенства можно записать красивее:
1.Для положительных $a$, $b$ и $c$, для которых $a^6+b^6+c^6=3$, докажите, что

$$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq3$$

2. Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+ac+bc)\geq3(a^2+b^2+c^2)$$

[MrDindows]

Цитата:

Воспользуйтесь AM-GM.

Как это расшифровуется?)

[Sasha2]

Это означает, что нужно воспользоваться неравенством AM-GM (среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического), а учитывая конкретику данного неравенства, по всей видимости следует воспользоваться весовым вариантом этого неравенства.