Про счетные множества

[Woland]

первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).

3)Можно решить так: разбейте всю плоскость на квадраты, имеющие
сторону а. Затем подумайте: сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)

[Ulya]

Цитата:

первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).

Что-то я не помню,чтобы я их решала )
По-моему я еще не решила задачи:

Цитата:

2)Доказать,что мн-во точек $R^n$,имеет мощность континуума.

5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность {a1,a2,...} имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.

17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.

21)Д-ть,что произвольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.

Добавлено спустя 6 минут 37 секунд:

Цитата:

сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)

Естественно.Их там может быть сколько угодно!

Добавлено спустя 16 минут 26 секунд:

Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.
Про 11:надо д-ть что одна последовательность ф-ий имеет мощность континуума.А потом воспользовать тем,что объединение континуального числа мн-в мощности континуума есть мн-во мощности континуума.
а больше я не знаю.Подскажите Woland!please.

[PAV]

Ox. Тяжело с Вами.

Задача 20. Что такое интервал с рациональными концами? Это пара $(a,b)$ двух рациональных чисел, из которых $b>a$. Вы вроде как умеете доказывать, что множество всех пар (равно как и троек, четверок и т.д.) рациональных чисел счетно.

Задача 6 стандартная. Достаточно рассмотреть один какой-нибудь интервал, так как все интервалы переводятся друг в друга простым преобразованием и, следовательно, равномощны. Берем интервал $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, функкция $\tg$ однозначно переводит его в $R$. Отсюда они равномощны.

Задача 2 проще, чем задача со счетной последовательностью вещественных чисел, так как тут чисел всего $n$. Пользуясь задачей 6, интерпретируем каждое $R$ как интервал $[0,1)$. Записываем $n$ чисел как бесконечные десятичные дроби. Имеем $n$ дробей. Составляем из них одну: сначала записываем подряд $n$ первых цифр, затем $n$ вторых и т.д. На похожей идее решается и задача со счетной последовательностью.

Для континуума всех непрерывных функций пользуемся тем, что непрерывная функция однозначно задается своими значениями в рациональных точках. Таким образом, сводим задачу к счетной последовательности вещественных чисел.

Для первой задачи (монотонные функции) делаем похожую вещь, только нужно явно задать значения функции не только в рациональных точках, но и в точках разрыва. Фишка в том, что для монотонных функций этих точек не более чем счетное число.

Цитата:

Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.

Плохо и неверно. Так можно "доказать" и то, что всех возможных функций континуум (если f - функция, то f+c - тоже функция...)

Я не вижу от автора самостоятельных продвижений. Тут уже накидано много разных как готовых решений, так и сырых идей, которые нужно доработать. Более того, у меня совершенно нет ощущения, что приведенные здесь решения поняты автором темы верно. Просьба написать подробно решения хотя бы нескольких задач, которые Вам уже вроде как понятны, не пропуская никаких логических переходов. Тогда по аналогии, глядишь, может быть и другие задачи решатся.

[Ulya]

Цитата:

берем интервал $\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$

А разве он мощности континуума?

Цитата:

интерпретируем каждое $R$ как интервал $[0,1)$

А почему так можно делать?

Цитата:

Таким образом, сводим задачу к счетной последовательности вещественных чисел.

PAV.Можно здесь пожалуйста поподробнее.КАк их этого утверждения получить д-во?

Про задачи,которые мне понятны:
3)Монотонная ф-ия имеет разрывы только первого рода.Значит,в некой окрестности этих точек существует левый и правый пределы.Возьмем рац.точку между ними.Т.е.осуществили биекцию между точками разрыва и рац.числом.Мн-во=счетно.
4)Возьмем отрезок с рациональными концами,содерж. точку лок.максимума,в котором ф-ия принимает наиб. значение в этой точке.Причем отрезки могут быть вложеными,то они рахные для вточке лок.максимума.Т.к. послеводательность отрезков с рац.концами счетно,то д-ли задачу.
7)В двоичной записи каждая точка отрезка [0,1] может быть записана в виде бесконечно двоичной дроби.Возьмем точку из квадрата $a_i=0,a1a2a3a4...,b_i=0,b1b2,b3,b4...$.Определим биекцию на такую последовательность:$c=0,a1b1a2b2...anbn...$.Но с имеет мощность континуума,т.к. отрезок [0,1] имеет мощность континуума.
Точкек,к-рые представляются конечной двоичной послед-ю будет счетно.А если к континуума +счетное число=континуум.
10)Выстроим последовательностив порялке их нумерации.
14-16)все ясно.
20)писать долго,но я все поняла здесь.

P.S:кстати,про монотонные функции я так и не поняла.И с оставшимися задачи проблемы!

[Woland]

Ulya писал(а):

Цитата:

берем интервал $\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$

А разве он мощности континуума?

Любые два интервала-равномощны. Убедитесь в этом так:
постройте произвольный равносторонний треугольник и проведите в нём среднюю
линию. Затем докажите, что средняя линия равномощна стороне треугольника.
(надо провести кое-какую прямую, и убедится,что она одновременно
пересекает и срелнию линию и стороны т.е. каждой точке ...).

[Ulya]

Woland мдно просто воспользоваться теоремой Кантора-Бернштейна.Я поняла.
А про две другие цитаты что можете сказать?!

[Ulya]

Про непрерывные функции я поняла.
Про непрерывные функции: т.е. каждая непрер.ф-ия однозначно задается значениями в рац.точках.Получаем некую последовательность,каждая из к-рых счетна.А мн-во счетных послед.из рац. чисел имеет мощность континуума.
Про монот. ф-ии аналогично,только надо заметить,что если к континуума + счетной мн-во,то получим континуум.
Ну вот.Осталось д-ть

Цитата:

5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность {a1,a2,...} имеет континуум подпоследовательностей.

12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.


17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.

???

P.S:так почему все-таки R можно интерпретировать как интервал [0,1)?

[RIP]

Ulya писал(а):

Про непрерывные функции: т.е. каждая непрер.ф-ия однозначно задается значениями в рац.точках.Получаем некую последовательность,каждая из к-рых счетна.А мн-во счетных послед.из рац. чисел имеет мощность континуума.

В данном случае используется, что множество последовательностей вещественных чисел имеет мощность континуум.

[Ulya]

Да.Спутала.А как быть с другими вопросами.

P.S:так почему все-таки R можно интерпретировать как интервал [0,1)?

Добавлено спустя 56 минут 37 секунд:

Про 8: будем характеризовать интервалы концами (2 числами).Выстроим эти числа в некую последовательность.Естественно,ее можно будет занумеровать!
А как быть с остальными пунктами?

[PAV]

Ulya писал(а):

P.S:так почему все-таки R можно интерпретировать как интервал [0,1)?

Они же равномощны. Т.е. между ними существует взаимно-однозначное соответствие: каждому вещественному числу поставим в соответствие точку интервала и наоборот.

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

Ulya писал(а):

Про 8: будем характеризовать интервалы концами (2 числами).Выстроим эти числа в некую последовательность.Естественно,ее можно будет занумеровать!

Ничего естественного я здесь не вижу. Где Вы использовали, что левый конец строго меньше правого, т.е. не допускаются интервалы, состоящие из одной точки? С ними утверждение неверно, т.к. всю прямую можно представить в виде объединения таких интервалов.

Добавлено спустя 5 минут 23 секунды:

Задача 12 по идее решения полностью аналогична 20. Задачи 8 и 9 по идее решения аналогичны (даже проще) задаче 3.

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

Ulya писал(а):

7)В двоичной записи каждая точка отрезка [0,1] может быть записана в виде бесконечно двоичной дроби.Возьмем точку из квадрата $a_i=0,a1a2a3a4...,b_i=0,b1b2,b3,b4...$.Определим биекцию на такую последовательность:$c=0,a1b1a2b2...anbn...$.Но с имеет мощность континуума,т.к. отрезок [0,1] имеет мощность континуума.

Интересно, осознаете ли Вы, что это НЕ взаимно-однозначное соответствие (т.е. не биекция). Я вообще заметил, что Вы склонны любое соответствие называть взаимно-однозначным, хотя это и не всегда так.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Ulya писал(а):

Про монот. ф-ии аналогично,только надо заметить,что если к континуума + счетной мн-во,то получим континуум.

Ничего не понятно. Что за континуум имеется в виду, что за счетное мноежство к нему прибавляется...

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

Ulya писал(а):

3)Монотонная ф-ия имеет разрывы только первого рода.Значит,в некой окрестности этих точек существует левый и правый пределы.Возьмем рац.точку между ними.Т.е.осуществили биекцию между точками разрыва и рац.числом.Мн-во=счетно.

Это не биекция

[Ulya]

Че ж тогда с 8 делать?
Про 12: между интервалом на R и [0,1] существует биекция (доказано).Объединение счетного или континуального кол-ва мн-в(в моем случае интервалом) мощности континуума есть мн-во мощности континуума.

Цитата:

Задачи 8 и 9 по идее решения аналогичны (даже проще) задаче 3.

Намекните

Цитата:

Ничего не понятно. Что за континуум имеется в виду, что за счетное мноежство к нему прибавляется...

Ну монотонная ф-ия однозначно задается своими значениями в рац. точках и точками разрыва первого рода.Счетная последовательность вещ.чисел континуально.Объединение также континуально.А если мы к мощности континуума + конечно число элементов (или элементы из счетного мн-ва),то это не изменит его мощности.

Цитата:

Это не биекция

А мне так здесь объясняли в первЫх постах!

[PAV]

Ulya писал(а):

Про 12: между интервалом на R и [0,1] существует биекция (доказано).Объединение счетного или континуального кол-ва мн-в(в моем случае интервалом) мощности континуума есть мн-во мощности континуума.

Когда мы говорим о биекции R и [0,1], то в качестве ЭЛЕМЕНТОВ выступают точки, именно из них составлены множества, мощности которых мы считаем. А в задаче 12 в качестве ЭЛЕМЕНТОВ множества выступают сами интервалы, а про точки здесь надо забыть. Так что эти задачи просто разной природы и никак друг с другом не связаны.

А Вы напишите, в чем ИДЕЯ решения задачи 3, а затем подумайте.

Цитата:

Ну монотонная ф-ия однозначно задается своими значениями в рац. точках и точками разрыва первого рода.Счетная последовательность вещ.чисел континуально.Объединение также континуально.А если мы к мощности континуума + конечно число элементов (или элементы из счетного мн-ва),то это не изменит его мощности.

Не точками разрыва, а точка + значение в ней. Пишите внятнее, пожалуйста. Не

Цитата:

Счетная последовательность вещ.чисел континуально

а "Множество всех счетных последовательностей вещественных чисел континуально". А дальше все равно не понял. Чего берется объединение и зачем? И зачем еще что-то к нему прибавлять?

Теперь про "биекцию". Когда мы берем непересекающиеся интервалы по оси Y и в каждом выбираем рациональную точку, то разным интервалам ставятся в соответствие разные рациональные точки. НО неверно, что каждой рациональной точке будет поставлен в соотвествие некоторый интервал. Таким образом, мы установили биекцию между точками разрыва и некоторым подмножеством рациональных чисел. Т.е. мощность этого множества не более чем счетна (либо конечна, либо бесконечно - тогда счетно).


А вообще-то Вы же понимаете, что Вам никогда и нигде не понадобятся решать задачи, подобные этим. Вы их забудете почти сразу, как сдадите, и в этом ничего страшного я не вижу. Но чему было бы очень хорошо научиться (и чему занятия математикой действительно учат) - это ясность мышления, четкость изложения своих мыслей, не допускать явных глупостей и несуразностей (и видеть их в своих собственных рассуждениях), а также неточностей и пропусков. И не подгонять рассуждения под нужный ответ. Типа, нам нужно получить "счетное множество", мы сейчас быстренько что-нибудь напишем с умными словами, затем в конце добавим "следовательно, множество счетно" и все, задача решена. А то, что там сплошные пробелы, ничего ни откуда не следует, ничего там не "следовательно" - это ничего, авось прокатит.

[Woland]

PAV подскажите пожайлуста, принимается ли в математике,что например:
0,67=0,67000..00....(нулей бесконечно)
(это нужно для доказательства сюрьективности одной задачи)

[PAV]

Woland

да, разумеется. На самом деле любое вещественное число записывается в виде бесконечной десятичной дроби, просто принято нули справа опускать. Это следует из построения вещественных чисел через систему вложенных интервалов.

[Someone]

Надо ещё не забыть, что также 0,67=0,669999999999... А то взаимно однозначное соответствие может не получиться.