Общее решение ДУ

[IgorMerzliakov]

Ув. ИСН
А как насчёт моего последнего вопроса?

[ewert]

Как уже говорил mitia87, общими решениями уравнений в частных производных интересоваться как-то не особо принято. Мороки много, а практическая польза с очень хорошей точностью равна нулю -- слишком уж велик произвол в выборе решений, да к тому же ещё и для каждого типа уравнения он свой. С вычислительной точки зрения, да и с общетеоретической всё это бесполезно.

[mitia87]

Читая сообщения в теме, задался вопросом. Насколько бесполезно понятие общего решения уравнения в частных производных.
Вот два примера.
Пример 1. (ОДУ)
$x'(t) = 1 \Rightarrow x(t) = t + const \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}x(t) = +\infty$.
Пример 2. (ДУЧП)
$u_t + u_x = 0 \Rightarrow u(x,t) = u(x - t) \Rightarrow u(x,x) = const \ \forall x$.
Т.е., теоретически из общих решений (хоть и за уши) можно вытянуть некие свойства решений любых задач. Ясно, что знание общих решений в этих примерах не нужно для определения написанных свойств. Интересно, всегда ли это бесполезно.

[IgorMerzliakov]

ewert в сообщении #359199 писал(а):

общими решениями уравнений в частных производных интересоваться как-то не особо принято.

Я всё понимаю, но если хочется разобраться в некоторых тонких вопросах ДУ... И я так и не получил ответа на вопрос: если ДУ не является задачей Штурма-Лиувилля имеет ли оно общее решение (возможно ли выразить это общее решение через ряд Фурье)?

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #359353 писал(а):

И я так и не получил ответа на вопрос: если ДУ не является задачей Штурма-Лиувилля имеет ли оно общее решение

И не получите, поскольку вопрос бессмысленен: дифуравнение не может быть "задачей Штурма-Лиувилля" -- это задача Штурма-Лиувилля ставится для дифуравнения, притом очень-очень не для всякого.

[ИСН]

Далась Вам эта задача Ш.-Л. Она вообще не диффур, у неё нет общего решения, и оно не выражается через ряд Фурье.

[Padawan]

ewert в сообщении #359199 писал(а):

общими решениями уравнений в частных производных интересоваться как-то не особо принято.

Для уравнений первого порядка очень даже принято.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #359380 писал(а):

Для уравнений первого порядка очень даже принято.

а я о чём?... Принято, но -- не особо.

[IgorMerzliakov]

ИСН в сообщении #359374 писал(а):

Далась Вам эта задача Ш.-Л. Она вообще не диффур, у неё нет общего решения, и оно не выражается через ряд Фурье.

Ув.ИСН

Но ведь в результате постановки этой задачи мы имеем дифур, у которого есть или должно быть общее решение.

Я вероятно, не совсем верно выразился, попробую перефразировать вопрос:существует ли общее решение для уравнений, применительно к которым невозможно поставить задачу Штурма-Лиувилля.

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #359386 писал(а):

существует ли общее решение для уравнений,

Да, существует. Общее решение -- это всего лишь множество частных решений.

[Padawan]

Общее решение -- это формула, зависящая от некоторых параметров, при подстановке в которую конкретных значений этих параметров получается частное решение.
Например, общее решение уравнения $u_t+u_x=0$, $u=u(x,t)$, имеет вид $u=F(x-t)$. Здесь параметр -- произвольная функция $F$. Для краевых задач уравнений второго порядка тоже есть общие решения, там параметры -- граничные функции.
Ув. ewert, больно не пинайтесь

[IgorMerzliakov]

Спасибо. Уже что-то есть. А есть ли методы помимо метода разделения переменных, для определения общего решения ДУвЧП 2-го порядка?

[ИСН]

Padawan только что привёл пример. Это что было, метод разделения переменных? По-моему, нет.

[moscwicz]

Никакого метода разделения переменных на самом деле нет. Есть метод Фурье, который состоит в том, что решение задачи раскладывается по собственным функциям соответствующего оператора. Это не тоже самое , что писать $X(x)Y(y)$. Адекватное представление о методе Фурье можно получить по задачнику Комеча.

IgorMerzliakov в сообщении #359393 писал(а):

Спасибо. Уже что-то есть. А есть ли методы помимо метода разделения переменных, для определения общего решения ДУвЧП 2-го порядка?

Этто бессмысленные вопросы. Надо сесть и прочитать пристойный учебник по УРЧП

[ИСН]

Ах, не заметил - второго порядка. Ну, подумаешь, делов-то. Продифференцируйте то уравнение ещё раз по x.