Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно

[Day]

Вот такая история со мной приключилась.
Закинул я на один из форумов топик с таким названием
http://www.cyberforum.ru/mathematical-l ... 69900.html
(надеюсь, здесь ссылки на "чужие" форумы разрешены)
и был побит камнями.
При этом кидали камни и люди мной весьма уважаемые.
Прошу помощи и совета.
Если и впрямь я не прав - что ж, пойду в аптеку, куплю лекарства
от слабоумия, подлечусь.
Кстати, именно ища в гугле подтвеждения (или опровержения) своей версии,
наткнулся на ваш замечательный форум.
Надо ж, думаю, люди еще и математикой занимаются!
Уровень тут чуток повыше, так что вашему приговору - поверю.
И приведу в исполнение.

PS: Хотел поместить топик в матлогику и множества, но чего-то не получилось

[venco]

"Любое утверждение о пустом множестве - истинно" - неверно.
"Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно" - верно.

[Day]

venco, спасибо!
В аптеку не иду.

[Maslov]

Day в сообщении #359233 писал(а):

Уровень тут чуток повыше, так что вашему приговору - поверю.

Если нашего авторитета недостаточно, можете сослаться на классиков :)

К. Куратовский, А.Мостовский в книге "Теория множеств", "Мир", М., 1970 (стр.54-55) писал(а):

Если каждый элемент множества $A$ удовлетворяет высказывательной функции $\Phi(x)$, то это записывается выражением

$$\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x)$$

и читаем: для каждого $x$, принадлежащего $A$, имеет место $\Phi(x)$.
...
В случае, когда множество $A$ пустое, принимаем

$$\bigwedge\limits_{x \in 0} \Phi(x) \equiv V$$

[Someone]

venco в сообщении #359236 писал(а):

"Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно" - верно.

Боюсь, это слишком широкое утверждение, чтобы быть верным. Что это значит - "об элементах пустого множества"? Тут большой простор для всяких толкований. Например, $\exists x(x\in\varnothing)$ - это об элементах пустого множества или нет?
Нужно сформулировать более формально:
если $\Phi(x)$ - любая формула со свободной переменной $x$, то формула $(x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x))$ истинна
(или с явным квантором всеобщности: $\forall x((x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x)))$).

[venco]

Согласен.

[Day]

Someone в сообщении #359270 писал(а):

Боюсь, это слишком широкое утверждение, чтобы быть верным. Что это значит - "об элементах пустого множества"? Тут большой простор для всяких толкований. Например, $\exists x(x\in\varnothing)$ - это об элементах пустого множества или нет?
Нужно сформулировать более формально:
если $\Phi(x)$ - любая формула со свободной переменной $x$, то формула $(x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x))$ истинна
(или с явным квантором всеобщности: $\forall x((x\in\varnothing)\Rightarrow(\Phi(x)))$).

Вы правы, конечно.
Увы - не все так просто!

[Xenia1996]

venco в сообщении #359236 писал(а):

"Любое утверждение о пустом множестве - истинно" - неверно.
"Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно" - верно.

А как же утверждение "существуют 32 элемента пустого множества"?

-- Вт окт 05, 2010 11:21:02 --

Xenia1996 в сообщении #359331 писал(а):

venco в сообщении #359236 писал(а):

"Любое утверждение о пустом множестве - истинно" - неверно.
"Любое утверждение об элементах пустого множества - истинно" - верно.

А как же утверждение "существуют 32 элемента пустого множества"?

Я так поняла, что утверждение "любое отрицательное натуральное число является трансцендентным" верно. Окей. А как насчёт следующего утверждения: "любое ложное утверждение об элементе пустого множества является доказуемым"?
Ведь ложное утверждение об элементе пустого множества само по себе является элементом пустого множества, если исходить из предположения, что любое утверждение об элементе пустого множества является истинным.
С другой стороны, если утверждение доказуемо, значит оно не ложно.

[Андрей АK]

Xenia1996 в сообщении #359331 писал(а):

А как насчёт следующего утверждения: "любое ложное утверждение об элементе пустого множества является доказуемым"?
Ведь ложное утверждение об элементе пустого множества само по себе является элементом пустого множества, если исходить из предположения, что любое утверждение об элементе пустого множества является истинным.
С другой стороны, если утверждение доказуемо, значит оно не ложно.

Утверждение не может быть ложным или истинным, без приговора суд... т.е. приложения к какому-то элементу, если только оно не тождественно ложное.
Но тождественно ложное утверждение порождает именно пустое множество.
(Т.е. мы ищем среди всех элементов какого-то множества те , для которых это утверждение истинно и ни одного не находим. Ответ: пустое множество).
Что означает, что тождественно ложное утверждение, для элементов пустого множества - истинно.
(Иначе мы бы и пустого множества не получили в качестве ответа.)

[epros]

Андрей АK в сообщении #359389 писал(а):

тождественно ложное утверждение, для элементов пустого множества - истинно

Диалектика, ёлы палы...

[Maslov]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #359331 писал(а):

А как насчёт следующего утверждения: "любое ложное утверждение об элементе пустого множества является доказуемым"?
Ведь ложное утверждение об элементе пустого множества само по себе является элементом пустого множества, если исходить из предположения, что любое утверждение об элементе пустого множества является истинным.
С другой стороны, если утверждение доказуемо, значит оно не ложно.

И тут появляется брадобрей и заявляет, что все критяне лжецы...

[hurtsy]

А чем отличается утверждение топик стартера от:
Из ложного утверждения (существование элемента пустого множества) следует как ложность, так и истинность любого утверждения? С уважением,

[a ^ a]

Тем, что ложное утверждение считается элементом пустого множества ?

[hurtsy]

(Оффтоп)

a ^ a в сообщении #359633 писал(а):

Тем, что ложное утверждение считается элементом пустого множества ?

А что, хорошо было б в державе, где это внесут в Конституцию. Мечта.

[a ^ a]

(Оффтоп)

hurtsy в сообщении #359646 писал(а):

a ^ a в сообщении #359633 писал(а):

Тем, что ложное утверждение считается элементом пустого множества ?

А что, хорошо было б в державе, где это внесут в Конституцию. Мечта.

Насколько я понимаю, это уже внесено в "Конституцию" ТМ + логика предикатов.