Формула Тейлора

[20Katya10]

Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции $f(x)=e^x$, вычислить с точностью до 0,001 значении $e^{x_1}$, $e^{x_2}$
$x_1=0,25$, $x_2 =0,28$
Спасибо заранее

20Katya10, если Вы не будете предпринимать попыток решения и набирать формулы как положено, тема будет перемещена в Карантин.

[Alexey1]

А ряд для $f(x)=e^x$ каким должен быть? В общем виде ряд Тейлора $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^a}{n!}(x-a)^n, \ a \in \mathbb R$, который становится рядом Маклорена если $a=0$, то есть $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$. Соответственно и остаточный член в форме Лагранжа имеет удовлетворяет неравенству $|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \ |x-a| \leq d$, где $|f^{(n+1)}(x)| \leq M, \ |x-a| \leq d$.

[20Katya10]

А у нас разве a=0? Разве х1 и х2 идут не как а?

[ИСН]

Допустим; и что тогда? Обдумайте эту мысль и доведите её до конца.

[20Katya10]

Не, я не понимаю одну вещь. Если а=0, то там вроде всё понятно. Является ли у нас а первым х и вторым? Что делать в этом случае?

[Alexey1]

Если Вы предполагаете, что $a=0$, то $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, то оцените остаток по приведённому неравенству для остатка, при $a=0, x=x_1$. Вам необходимо, чтобы выполнялось $|R_n(x_1)| < 0,001$. При каком значении $n$ это будет выполнено?

[20Katya10]

Спасибо, я поняла,что нужно $n$ найти, но я не понимаю само а. Откуда оно берётся в формуле, что за устойчивое число? а- это и есть х1 и х2 ? Или это совсем другое?

[ИСН]

а в формуле берётся из головы. Обычно это ближайшее число, при котором Вы знаете точное значение функции.

[Alexey1]

В Вашем случае $a$ можно не рассматривать, так как равенство $e^x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$ верно для любого $a$. Вот при оценивании, число $n$ будет зависеть от того, каким выбрано $a$. Но Вам это не надо, Вам просто надо оценить $e^{x_1}, e^{x_2}$. Поэтому возьмите $a=0$.

[20Katya10]

спасибо большое )