Студенческая олимпиада НГУ по математике (3 октября 2010г.)

[bot]

1. Может ли нецелое рациональное число быть собственным числом целочисленной квадратной матрицы?

2. Вычислить $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{ n+2}+ \ldots + \sqrt{n^{2}-1}+n}{n^3}$

3. Сколько степеней двойки содержит последовательность $a_n=n^{3}-5n+10 ?$

4. Среди любых четырёх членов клуба "Poliglot" есть хотя бы один, который может общаться с любым из трёх других без переводчика. Полиглота, способного общаться без переводчика с любым членом клуба, называют суперглотом. В клубе числится 100 человек. Сколько из них могут быть суперглотами?

5. Найти все действительные корни уравнения $\sqrt[5]{x^{3}-6x^2+9 x}=\sqrt[3]{x^{5}+6x^2-9 x}.$

[Padawan]

2. 2/3 -- теорема Штольца.

[ewert]

2. $=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{k=n+1}^{n^2}\sqrt{\dfrac{k}{n^2}}\sim\int\limits_0^1\sqrt x\,dx$

1. Нет, естественно, какая уж тут олимпиада.

[mihiv]

5.Обозначим через $v$ левую часть уравнения,тогда уравнение запишется в виде $v=\sqrt [3]{x^5+x^3-v^5}$,возведя обе части уравнения в куб получим $v^5+v^3=x^5+x^3$,отсюда $v=x$ и $x_{1,2,3}=0,\frac {-1\pm \sqrt {13}}2$.

[lim0n]

mihiv в сообщении #359096 писал(а):

... $x_{1,2,3}=0,\frac {-1\pm \sqrt {13}}2$.

А то, что $-1-\sqrt{13}\over2$ вне ОДЗ?

[Padawan]

lim0n в сообщении #359324 писал(а):

mihiv в сообщении #359096 писал(а):

... $x_{1,2,3}=0,\frac {-1\pm \sqrt {13}}2$.

А то, что $-1-\sqrt{13}\over2$ вне ОДЗ?

Там же корни нечётной степени?

[lim0n]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #359328 писал(а):

Там же корни нечётной степени?

Точно!
Wolfram меня попутал... Или я его?..

Решение уравнения $\sqrt[5]{x^3-6x^2+9x}=x$
Решение уравнения $-x^5+x^3-6x^2+9x=0$

[3AKPbIBAKA]

Подскажите, пожалуйста, где посмотреть результаты.

[Профессор Снэйп]

Третья тоже не очень сложной оказалась.

Решение, увы, нашёл не сам, так что пока выкладывать не буду. Но если поступят заявки --- выложу.

[Null]

Можно так: взяв по модулю 7 получим что $a_n$ - полный куб, что бывает редко

[3AKPbIBAKA]

Null, поясните, пожалуйста.

[Null]

n | $(n^3-5 n+10) mod 7$
1 | 6
2 | 1
3 | 1
4 | 5
5 | 5
6 | 0
7 | 3

k|$2^k mod 7$
0|1
1|2
2|4

Сравнивая таблицы получим что только 1 есть в обоих таблицах. Значит $3|k$, значит $(n^3-5 n+10)={(2^l)}^3$, но ${(n-1)}^3<n^3-5 n+10<n^3$, при n>2

[mihiv]

4.Минимальное число суперглотов 97.

[TOTAL]

mihiv в сообщении #359894 писал(а):

4.Минимальное число суперглотов 97.

Требовалось найти не минимальное, а все возможные.

[mihiv]

Всего три возможности:97,98, и 100.