Непонятная сумма

[NNDeaz]

И так, есть сумма

$$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k}} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...)$$

И

$$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k}}} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + ...)$$

Далее проделываем операцию

$$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k}} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} - \frac{1}{{2k}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{2 - 1}}{{2k}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k}}} $$

Но с другой стороны

$$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k}} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k}}} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + ...) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...$$

Получаем

$$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2k}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...$$

Что нетак?

[caxap]

del

[ewert]

NNDeaz в сообщении #358529 писал(а):

Что нетак?

Чему равно $\infty-\infty$?...

[--mS--]

NNDeaz в сообщении #358529 писал(а):

Что нетак?

А что смущает Вас в последнем равенстве? $+\infty = +\infty$, всё замечательно :)

[Полосин]

См. также "парадокс Иоганна Бернулли" в учебнике Фихтенгольца.