Случайные величины, распределение Пуассона

[integral2009]

Случайные величины $\xi_1$ ,$\xi_2$ ,…,$\xi_2$ независимы и имеют распределение Пуассона с параметром $\lambda=2$. Случ. величина $\eta= \xi_1+\xi_2+\xi_3+\xi_4+\xi_5$ Найти математическое ожидание с.в $\chi=\dfrac{1}{5^{\eta}(\eta+1)}$

Запутался, подскажите, пожалуйста!

Распределение Пуассона.

$p_k \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}=\dfrac{2^k}{k!}\, e^{-2}$

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

Но у $\chi$ нет индекса...?

[Null]

Во-первых найдите распределение $\eta$
Во вторых найдите возможные значения $\chi$ и их вероятности.

[integral2009]

Null в сообщении #358315 писал(а):

Во-первых найдите распределение $\eta$
Во вторых найдите возможные значения $\chi$ и их вероятности.

СпасибО! Возможно, что я перемудрил, но получается следующее!
$p_{k_i} \equiv \mathbb{P}(\xi_i=k_i) = \dfrac{2^{k_i}}{k_i!}\, e^{-2}$

$p(\eta)=\prod\limits_{i=1}^5 p_{k_i}=\dfrac{2^{\eta}}{\prod\limits_{i=1}^5k_i!}e^{-10}$

[ИСН]

Недо-.

[integral2009]

$\chi(\eta)=\dfrac{1}{5^{\eta}(\eta+1)}$

$\chi(0)=1$

$\chi(1)=\dfrac{1}{10}$

$\chi(2)=\dfrac{1}{75}$

$\chi(3)=\dfrac{1}{500}$

$\chi(4)=\dfrac{1}{3125}$

$\chi(5)=\dfrac{1}{18750}$

$...$

ммм, а что дальше сделать?)

[Alexey1]

Вам необходимо найти математическое ожидание, которое в этом случае равно сумме значений случайной величины $\chi=\frac{1}{5^{\eta}(\eta+1)}$ умноженных на их вероятности. Для этого Вам необходимо найти распределение случайной величины $\eta=\xi_1+...+\xi_5, \ \xi_i \sim Poi(2), i=1,...,5$.
Для этого, пусть $\xi_1 \sim Poi(\lambda_1), \ \xi_2 \sim Poi(\lambda_2)$ и найдите распределение $\xi_1+\xi_2$ используя, например, формулу полной вероятности ($P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)$). После этого Вы поймете какое распределение имеет $\eta$.

[Null]

$p(\eta)=\prod\limits_{i=1}^5 p_{k_i}=\dfrac{2^{\eta}}{\prod\limits_{i=1}^5k_i!}e^{-10}$ - неправильно.

[integral2009]

Alexey1 в сообщении #358493 писал(а):

Вам необходимо найти математическое ожидание, которое в этом случае равно сумме значений случайной величины $\chi=\frac{1}{5^{\eta}(\eta+1)}$ умноженных на их вероятности. Для этого Вам необходимо найти распределение случайной величины $\eta=\xi_1+...+\xi_5, \ \xi_i \sim Poi(2), i=1,...,5$.
Для этого, пусть $\xi_1 \sim Poi(\lambda_1), \ \xi_2 \sim Poi(\lambda_2)$ и найдите распределение $\xi_1+\xi_2$ используя, например, формулу полной вероятности ($P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)$). После этого Вы поймете какое распределение имеет $\eta$.

Спасибо! У меня получилось так!

$p_k \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}=\dfrac{2^k}{k!}\, e^{-2}$

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

$$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$$

$$=P(\xi_1=k)P(\xi_2=0)+P(\xi_1=k-1)P(\xi_2=1)+P(\xi_1=k-2)P(\xi_2=2)+...+P(\xi_1=0)P(\xi_2=k)=$$

$$=\dfrac{2^k}{k!}\, e^{-2}\cdot \dfrac{2^0}{0!} e^{-2}+\dfrac{2^{k-1}}{(k-1)!}\, e^{-2}\cdot \dfrac{2^1}{1!}e^{-2}+\dfrac{2^{k-2}}{(k-2)!}\, \dfrac{2^2}{2!}e^{-2}\cdot e^{-2}+...+\dfrac{2^{0}}{(0)!}\, \dfrac{2^k}{k!}e^{-2}\cdot e^{-2}=2^ke^{-4}\sum_{n=0}^{k}\dfrac{1}{k!(n-k)!}$

[integral2009]

Null в сообщении #358532 писал(а):

$p(\eta)=\prod\limits_{i=1}^5 p_{k_i}=\dfrac{2^{\eta}}{\prod\limits_{i=1}^5k_i!}e^{-10}$ - неправильно.

Т.е. произведения там быть не должно?!

[ewert]

Насчёт Пуассона -- вообще-то следует знать, что при сложении двух или нескольких пуассоновских величин получается снова некоторая пуассоновская величина. И что параметр $\lambda$ -- это матожидание. И всё, этого достаточно, чтобы сходу написать распределение $\eta$.

Ну а потом найти матожидание той дроби тупым суммированием.

[integral2009]

Спасибо, ewert! То есть так?!

$p(\eta=k)=\dfrac{2^{k}}{k!}e^{-10}$

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

[ewert]

integral2009 в сообщении #358609 писал(а):

$p(\eta=k)=\dfrac{2^{k}}{k!}e^{-10}$

Ну как так может быть, ведь 2 не равно 10.

[ИСН]

Я и говорю: недомудрили с самого начала. Пять величин - это очень сложно, я бы начал с двух. Ну да неважно.

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #358555 писал(а):

$p_k \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}=\dfrac{2^k}{k!}\, e^{-2}$

$M\chi=\sum\limits_{k=1}^{5}{p_k\chi_k$

$$P(\xi_1+\xi_2=k)=\sum_{n=0}^{k}P(\xi_1=k-n)P(\xi_2=n)=$$

$$=P(\xi_1=k)P(\xi_2=0)+P(\xi_1=k-1)P(\xi_2=1)+P(\xi_1=k-2)P(\xi_2=2)+...+P(\xi_1=0)P(\xi_2=k)=$$

$$=\dfrac{2^k}{k!}\, e^{-2}\cdot \dfrac{2^0}{0!} e^{-2}+\dfrac{2^{k-1}}{(k-1)!}\, e^{-2}\cdot \dfrac{2^1}{1!}e^{-2}+\dfrac{2^{k-2}}{(k-2)!}\, \dfrac{2^2}{2!}e^{-2}\cdot e^{-2}+...+\dfrac{2^{0}}{(0)!}\, \dfrac{2^k}{k!}e^{-2}\cdot e^{-2}=2^ke^{-4}\sum_{n=0}^{k}\dfrac{1}{k!(n-k)!}$

Возьмите случайные величины $\xi_1 \sim Poi(\lambda_1), \ \xi_2 \sim Poi(\lambda_2)$ - то есть с произвольными параметрами $\lambda_1, \lambda_2$ и найдите $P(\xi_1+\xi_2=k)$ так как Вы попытались сделать. Лучше не расписывать сумму как Вы это сделали до этого, так будет нагляднее.

[integral2009]

ewert в сообщении #358610 писал(а):

integral2009 в сообщении #358609 писал(а):

$p(\eta=k)=\dfrac{2^{k}}{k!}e^{-10}$

Ну как так может быть, ведь 2 не равно 10.

Просуммировав мат ожидания от каждой из 5 величин получилось $-10$

-- Пн окт 04, 2010 01:04:19 --

Alexey1 в сообщении #358880 писал(а):

Возьмите случайные величины $\xi_1 \sim Poi(\lambda_1), \ \xi_2 \sim Poi(\lambda_2)$ - то есть с произвольными параметрами $\lambda_1, \lambda_2$ и найдите $P(\xi_1+\xi_2=k)$ так как Вы попытались сделать. Лучше не расписывать сумму как Вы это сделали до этого, так будет нагляднее.

Дело в том, что мне не понятно -- что значит обозначение $Poi(\lambda_1)$