Две задачи о раскраске натурального ряда

[Busy_Beaver]

Задача 1: Можно ли раскрасить натуральный ряд в $2$ цвета так, чтобы для любого натурального $n$ числа $n$ и $2n$ были окрашены в разные цвета?

Задача 2: Можно ли раскрасить натуральный ряд в $2$ цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?

Идеи обоих решений помещаю в "оффтопик", дабы не быть обвинённым в создании "мертворожденных" тем.

(Оффтоп)

Я не смог решить ни одной из этих задач, зато Ксения решила обе. Доказательства приводить не буду, но только идеи решений.

К задаче 2: Покрасим все четнозначные числа в белый цвет, а нечетнозначные - в чёрный. (четнозначные - это двузначные, четырёхзначные и т.д.).

К задаче 1: Покрасим все числа, в разложении которых на множители имеется чётное число двоек, в белый цвет, остальные - в чёрный.

[venco]

По моему, на этот раз задачи оказались слишком простыми для этого раздела.

[ИСН]

Нормальные школьные олимпиадные задачи, чо. Вторая также хорошо проясняет смысл разницы между "бесконечно" и "сколь угодно".

[gris]

А я вначале прочитал решение второй как решение первой, не заметил, что они в другом порядке. И ещё подумал - надо уточнить, что значность в двоичной системе счисления. Подходит и для второй, кстати.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #356403 писал(а):

А я вначале прочитал решение второй как решение первой, не заметил, что они в другом порядке. И ещё подумал - надо уточнить, что значность в двоичной системе счисления. Подходит и для второй, кстати.

Почему в двоичной? Не обязательно. Ксю как раз десятичную имела в виду. Но вот если в двоичной, то одним решением можно двух зайцев (то бишь две задачи)

[Day]

О 2-й задаче.
При чем здесь системы счисления? И значности?
Просто красим: Белая - Черная - 2 белых - 2 черных - .... -
Н белых - Н черных - Н+1 белых - Н+1 черных - ...

А можно вооюще красить вразнобой.
Главное, чтоб появлялись сколь угодно длинные монохромные куски обоих цветов