мат.ожидание

[Anya90]

Здравствуйте!

Права ли я, что $E\[(Y-x)^2\]=(EY-x)^2$?
Здесь $Y$ - случ.величина.
Спасибо!

[Alexey1]

Нет, в общем случае это не правильно. Раскройте квадраты обеих частей равенства и посмотрите.

[Anya90]

То есть они равны, если только $E(Y^2)=(EY)^2$. Спасибо.

[ewert]

Anya90 в сообщении #358154 писал(а):

Права ли я, что $E\[(Y-x)^2\]=(EY-x)^2$?

Всегда $E\[(Y-x)^2\]>(EY-x)^2$ (неравенство Коши-Буняковского).

(если величина действительно случайна)

[Alexey1]

ewert в сообщении #358158 писал(а):

Всегда $E\[(Y-x)^2\]>(EY-x)^2$ (неравенство Коши-Буняковского).

(если величина действительно случайна)

А есть $Y = x =0$ тривиальная случайная величина?

[ewert]

Тривиальная -- фактически не случайная. Тогда, конечно, равенство (и не обязательно для нуля). Формально говоря -- потому, что тогда все функции (в т.ч. и $g(y)=y$) эквивалентны константе, т.е. пространство функций одномерно.

[Anya90]

Подскажите, пожалуйста, еще, верно ли, что $f(x)=E\[(Y-x)^2\]$ дифференцируема для любого $x\in R$. Мне кажется, что это правильно, только не знаю, как строго обосновать.

[Alexey1]

ewert в сообщении #358161 писал(а):

Тривиальная -- фактически не случайная.

В каком смысле? Действительная функция $X: (\Omega, \mathcal F) \to (\mathbb R,\mathcal B (\mathbb R)$ и $\mathcal F=\{\Omega, \varnothing \}$, такая что $X(\omega)=0, \ \forall \omega \in \Omega$ является измеримой, то есть является случайной величиной.
Кроме того, для выполнения равенства достаточно, чтобы $Y=x=0$ п.н., то есть $Y$ может и не быть константой.

[ewert]

Anya90 в сообщении #358163 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, еще, верно ли, что $f(x)=E\[(Y-x)^2\]$ дифференцируема для любого $x\in R$.

Верно (если, разумеется, дисперсия вообще существует). Просто тупо выпишите производную как предел отношения приращений.

-- Сб окт 02, 2010 07:35:33 --

Alexey1 в сообщении #358165 писал(а):

для выполнения равенства достаточно, чтобы $Y=x=0$ п.н., то есть $Y$ может и не быть константой.

Ноль тут не при чём, а вот равенство $Y=x$ п.в. ровно и означает, что вся вероятностная мера сосредоточена в точке $x$ -- не больше и не меньше. Тогда (и только тогда) любая непрерывная функция $g(y)$ относительно гильбертовой нормы $\sqrt{E(g^2(Y))}$ эквивалентна константе $g(x)$.

[Anya90]

Спасибо, поняла.

[ewert]

Anya90 в сообщении #358167 писал(а):

Спасибо, поняла.

Я там чего-то загнул с пределами. Ваше выражение попросту квадратично по иксам.