Гамма функция

[NNDeaz]

Помогите разобраться! почему

$$\Gamma(1/2)=\sqrt \pi$$

Поправил ТеХ. Сравните: $Gamma$

$Gamma$

и $\Gamma$

$\Gamma$

zhoraster

[Полосин]

Обычно сводят к интегралу Пуассона:
$\Gamma(1/2)=\int\limits_0^{+\infty}x^{-1/2}e^{-x}dx=\{x=t^2\}=2\int\limits_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}$.
Можно воспользоваться и формулой дополнения:
$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi/\sin(\pi x)$ ($x$ - нецелое).

[ewert]

Пуассон идейнее.

[Joker_vD]

А... а извините, а как еще гамму-функцию определяют КРОМЕ как через интеграл: $\Gamma(x) = \int\limits_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$?

[ИСН]

Вам одного определения мало? Остальное - свойства.

[Хорхе]

Есть еще такое прекрасное бесконечное произведение (формула Вейерштрасса, что ли).

[Legioner93]

topic16822.html
Здесь написано, как получить $\int\limits_{- \infty}^{ + \infty } {e^{ - t^2 } dt}=\sqrt{\pi}$.

[RIP]

Joker_vD в сообщении #357751 писал(а):

А... а извините, а как еще гамму-функцию определяют КРОМЕ как через интеграл: $\Gamma(x) = \int\limits_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$?

Есть ещё как минимум 2 естественных определения, причём годных при всех комплексных $s$:

$$\frac1{\Gamma(s)}=\lim_{n\to\infty}\frac{s(s+1)\ldots(s+n-1)}{n!n^{s-1}}=s\prod_{n=1}^\infty(1+s/n)(1+1/n)^{-s}=s\mathrm e^{\gamma s}\prod_{n=1}^\infty(1+s/n)\mathrm e^{-s/n}.$$

Сам Эйлер вводил гамма-функцию с помощью первого определения.

Legioner93 в сообщении #358100 писал(а):

Здесь написано, как получить $\int\limits_{- \infty}^{ + \infty } {e^{ - t^2 } dt}=\sqrt{\pi}$.

Здесь можно найти док-во с помощью теоремы о вычетах.