Опровергнуть, не производя вычислений

[Busy_Beaver]

Требуется (не производя вычислений (сейчас поясню, каких именно)) опровергнуть известное заблуждение: "если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27".
Запрещено проверять конкретное число на делимость, то есть, скажем, контрпример с числом 27279 не годится.

(Оффтоп)

Моя Ксю предложила следующее решение:

Возьмём 13 двоек и единичку. В первом числе поставим 13 двоек на первые места, а единичку - на последнее. Во втором числе переставим единичку и последнюю двойку. Разность между этими числами равна девяти, следовательно, оба они на 27 делиться не могут.
Что примечательно, не требуется проверять, делится ли хотя бы одно из них на 27.

[Nilenbert]

(Оффтоп)

9936 и 9945 имеют суммк цифр равную 27, но делиться на 27 очевидно может только одно из них

.

Хм, та же идея оказалась что и у вас.

[ewert]

(Оффтоп)

Nilenbert в сообщении #357314 писал(а):

9936 и 9945 имеют суммк цифр равную 27, но делиться на 27 очевидно может только одно из них.

поправка сугубо ради приличия: не более одного

[Батороев]

(Оффтоп)

Делимость на 27 подразумевает кратность суммы 3-х разрядных чисел, на которые можно поделить рассматриваемое число.

$9936$
$9+936=945\equiv 0\pmod {27}$

$9945$
$9+945=954\not\equiv 0\pmod{27}$.

[Busy_Beaver]

Busy_Beaver в сообщении #357263 писал(а):

Требуется (не производя вычислений (сейчас поясню, каких именно)) опровергнуть известное заблуждение: "если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27".
Запрещено проверять конкретное число на делимость, то есть, скажем, контрпример с числом 27279 не годится.

(Оффтоп)

Моя Ксю предложила следующее решение:

Возьмём 13 двоек и единичку. В первом числе поставим 13 двоек на первые места, а единичку - на последнее. Во втором числе переставим единичку и последнюю двойку. Разность между этими числами равна девяти, следовательно, оба они на 27 делиться не могут.
Что примечательно, не требуется проверять, делится ли хотя бы одно из них на 27.

Обобщаю данную задачу:
Требуется доказать, что не существует целого неотрицательного $n$ (кроме $0, 1, 3, 9$) такого, что если сумма десятичных цифр натурального числа делится на $n$, то и само число делится на $n$"

(Оффтоп)

Решение почти такое же.
Для $n>2$ берём $n-3$ цифр 1, а на конце ставим один раз 12, а другой раз 21. Так как разность равна 9, общие делители могут быть только $1, 3, 9$.
Для $n=2$ доказываем "в лоб": сумма цифр числа 11 равна 2, но 11 - нечётное.
Следовательно, только для $n=0, 1, 3, 9$ справедливо утверждение "если сумма десятичных цифр натурального числа делится на $n$, то и само число делится на $n$".
Кстати, для нуля оно верно, так как из ложного утверждения следует любое.

[Edward_Tur]

В том же духе (фольклор):
Натуральное число $n$ такое, что если $m$ делится на $n$, то и число, записываемое теми же цифрами, что и $m$, в обратном порядке, делится на $n$. Доказать, что $99$ делится на $n$.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #357598 писал(а):

В том же духе (фольклор):
Натуральное число $n$ такое, что если $m$ делится на $n$, то и число, записываемое теми же цифрами, что и $m$, в обратном порядке, делится на $n$. Доказать, что $99$ делится на $n$.

Решение.
От суммы двух чисел, каждое из которых делится на $n$, отнимаем одно число, делящееся на $n$, и получаем число вида $99 \cdot 10^k$. Т.к. $n$ не делится ни на 2, ни на 5, то считаем, что доказали.

[Edward_Tur]

Первыми цифрами первого чисел, делящегося на $n$, могут быть 5 и 0.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #358224 писал(а):

Первыми цифрами первого чисел, делящегося на $n$, могут быть 5 и 0.

Не понял, к чему это.

Всегда найдется число, начинающееся на 1, которое делится на $n$. Поэтому $n$ не делится ни на 2, ни на 5. Если же вопрос в том, где взять нужные числа, то можно поступить так.

Пусть $A$ - произв. $(s+1)$- значное число, которое делится на $n$ и заканчивается на номер справочного 09.
Пририсуем к $A$ справа $s$ нулей - получим число $R.$
Пририсуем к $A$ слева $s$ нулей - получим число $L.$
"Обратное" к $R+L$ меньше суммы "обратных" к $R$ и $L$ на $99 \cdot 10^k.$

[Edward_Tur]

Вариация:
Пусть $A_1$ - произвольное $(s+2)$- значное число, которое делится на $n$ и начинается на 50.
Пририсуем к "обратному" к $A_1$ справа $s+2$ нулей - получим число $A_2$.
Сложим $A_1$ и $A_2$ - получим число $A_3$
Вычтем из $A_3$ "обратное" к нему, и получим 990...0. "Обратив" последнее число, получим 99.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #358251 писал(а):

Пририсуем к "обратному" к $A_1$ справа $s+2$ нулей ...

Последний из которых в последний момент сотрём?