Нелинейное уравнение теплопроводности

[prudent]

В общем, проблема в следующем:
Необходимо определить распределение температур на поверхности и в глубине изотропного полубесконечного тела при условии действия нормально распределенного импульсного теплового источника, коэффициент теплопроводности линейно зависит от температуры.
Поскольку источник осесимметричный, ввел цилиндрические координаты для уравнения

$a{\frac {\partial }{\partial t}}T \left( r,z,t \right) ={\it div} \left( \left( 1+\alpha\,T \left( r,z,t \right) \right) {\it grad} \left( T \left( r,z,t \right) \right) \right) $

После применения набла-оператора получил следующее д.у.

$a{\frac {\partial }{\partial t}}T \left( r,z,t \right) ={\frac {1}{r}{ \frac {\partial }{\partial r}}T \left( r,z,t \right) }}+{\frac { \partial ^{2}}{\partial {r}^{2}}}T \left( r,z,t \right) +{\frac { \partial ^{2}}{\partial {z}^{2}}}T \left( r,z,t \right) +{\frac {1}{2r}\,{ \alpha\,{\frac {\partial }{\partial r}} \left( \left( T \left( r,z,t \right) \right) ^{2} \right) }+1/2\,\alpha\,{\frac {\partial ^{2 }}{\partial {r}^{2}}} \left( \left( T \left( r,z,t \right) \right) ^ {2} \right) +1/2\,\alpha\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial {z}^{2}}} \left( \left( T \left( r,z,t \right) \right) ^{2} \right) $

н.у.: $T \left( r,z,0 \right) =0$
г.у.: $T \left( \infty ,\infty ,t \right) =0$ ;
$-\lambda_{{0}} \left( 1+\alpha T \left( r,0,t \right) \right) {\frac {\partial }{\partial z}}T \left( r,0,t \right) =q_{{0}}{{\rm e}^{-k{r} ^{2}}} \left( {{\rm e}^{-\tau_{{1}}t}}-{{\rm e}^{-\tau_{{2}}t}} \right) $

Вопрос: возможно ли вообще аналитическое решение такого уравнения? И если да, то каким методом пользоваться?

[V.V.]

prudent в сообщении #357145 писал(а):

Вопрос: возможно ли вообще аналитическое решение такого уравнения? И если да, то каким методом пользоваться?

Ну, можно посчитать симметрии уравнения. Вдруг какое-то из инвариантных решений будет удовлетворять Вашим условиям.

А еще можно сделать замену $1+\alpha T=U$. Уравнение будет выглядеть красивее.

[ewert]

V.V. в сообщении #357568 писал(а):

А еще можно сделать замену

Не знаю, можно ли найти явное решение; сильно сомневаюсь. А если нет, то такая замена вредна: по замыслу альфа -- это наверняка малый параметр.

[terminator-II]

Уравнение нелинейное, неочевидно имеет ли оно вообще решения. Даже краевые условия нелинейны. Это не вопрос для форума, это думать надо серьезно.

[V.V.]

ewert, у Вас есть конструктивные предложения?

terminator-II, я бы, скорее, сомневался в единственности решения поставленной задачи, нежели в существовании решения. Все-таки второе условие малообременительно.

[terminator-II]

V.V. в сообщении #357679 писал(а):

terminator-II, я бы, скорее, сомневался в единственности решения поставленной задачи, нежели в существовании решения

Вы априорные оценки написать можете? Тогда напишите. Я не могу.

[worm2]

Если задача поставлена корректно в физическом смысле, то кагбе и существование и единственность можно считать обеспеченным. Другой вопрос — какому пространству оно принадлежит.

[V.V.]

Что-то "заслуженные участники" (и я, в том числе) внимательно не посмотрели на задачу.
Топикстартер неправильно раскрыл оператор.
Ну, и проблемы с согласованием у условий...

Или я сейчас туплю?

[prudent]

V.V., проверил уравнение еще раз.... вроде ошибки нет (или делаю ее снова?)
Попробовал сделать замену, как Вы рекомендовали - все действительно немного по-приятней выглядит, удалось даже разделить переменные. Теперь борюсь с получившейся пространственной частью уравнения...

Цитата:

Не знаю, можно ли найти явное решение; сильно сомневаюсь. А если нет, то такая замена вредна: по замыслу альфа -- это наверняка малый параметр.

Альфа - действительно мало. Но по-моему лучше уж хоть какое-то решение, чем вообще никакого.... его адекватность проверю позже

Цитата:

Ну, и проблемы с согласованием у условий...

А в чем проблемы? вроде физически все правильно сформулировано - полуограниченное тело, температуры на бесконечности не меняются, есть нелинейный тепловой поток через поверхность

P.s. Спасибо всем за внимание к теме

[Утундрий]

Ну и начните с альфа = 0, а дальше - асимптотическое разложение...