Про счетные множества

[PAV]

Обычно сложность возникает в том, чтобы доказать, что рассматриваемое множество имеет мощность не большую, чем Вам нужна. Для функций обычно несложно доказать, что их не меньше континуума, но почему не больше? Ведь по сути мы делаем удивительную вешь: всю функцию однозначно задаем одним числом.

Докажите такой факт: множество счетных последовательностей вещественных чисел имеет мощность континуума. На этой идее можно решить сразу несколько пунктов.

Задача 4 решена неверно. Условие строгого локального максимума не гарантирует наличие такого интервала слева, на котором функция строго возрастает, равно как и интервала справа, на котором функция убывает. Контрпример легко привести.

Нужно взять такой интервал, на котором значение функции в данной точке строго больше значения ее во всех остальных точках. Концы интервалов нужно взять рациональными. Тогда их счетное число и для разных локальных максимумов они не могут совпадать (хотя могут быть вложены один в другой).

[Ulya]

Хм.Про
2)Двигаем эти функции так,чтобы точка пересечения их с осью абцисс лежала в отрезке [0,1].Будем характеризовать эту функцию точкой пересечения с осью абцисс (т.е. осуществим взаимнооднозначное соответствие).А мн-во точек на этом отрезке имеет мощность континуума...Но ведь 2 и более функций могут проходить через одну точку (

Цитата:

Поищете на форуме, она здесь уже рассматривалась (и не однократно).

Я уже 30 минут ищу и найти никак не могу!

Добавлено спустя 8 минут 18 секунд:

Цитата:

На этой идее можно решить сразу несколько пунктов.

каких

[PAV]

Ulya писал(а):

Цитата:

На этой идее можно решить сразу несколько пунктов.

каких

1, 11-13

[Ulya]

Ну вот:если доказать 20,то докажится и 4.А как 20 доказать?

[Woland]

Ulya писал(а):

Хм.Про
2)Двигаем эти функции так,чтобы точка пересечения их с осью абцисс лежала в отрезке [0,1].Будем характеризовать эту функцию точкой пересечения с осью абцисс (т.е. осуществим взаимнооднозначное соответствие).А мн-во точек на этом отрезке имеет мощность континуума...Но ведь 2 и более функций могут проходить через одну точку (

Прочтите внимательно мой последний пост.(двигаем вдоль оси Y а не х)

Ulya писал(а):

Я уже 30 минут ищу и найти никак не могу!

Тогда напишите модератору.Или в спорт лотто. (Вы же сами понимаете, что некоторым больше нечего делать, как только лазать по всему форуму, и искать Вам ответы) :

[PAV]

Ulya писал(а):

Ну вот:если доказать 20,то докажится и 4.А как 20 доказать?

Вы уже его доказали, только, похоже, сами этого не заметили.

[Woland]

PAV писал(а):

Ulya писал(а):

Цитата:

На этой идее можно решить сразу несколько пунктов.

каких

1, 11-13

Извените PAV, а как Вы на этой идее собираетесь доказать задачу 1?

[Ulya]

И как,пользуясь тем,что мн-во счетных последовательностей из вещественных чисел имеет мощность континуума,д-ть пункты 1,11-13?

Добавлено спустя 51 секунду:

PAV я 20 не доказывала ))

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

Woland

Цитата:

(двигаем вдоль оси Y а не х)

ну и что из этого!!!Сместим мы их в какой-либо интервал.

Добавлено спустя 4 минуты 6 секунд:

В 20 же интервалы могут пересекаться!

[Woland]

Если функция y=f(x) -монотонна,то функция Z=f(x)+1 также монотонна.
Множество же всех функций w=f(x)+c, равно континууму. Так как
с пробегает весь интервал [0,1].

Добавлено спустя 5 минут 16 секунд:

Но на самом деле, как уже отмечал PAV, этим мы доказали,
что функций не меньше континуума.Теперь надо доказать, что
их не больше.

Добавлено спустя 9 минут 55 секунд:

Это будет легко сделать, если вспомнить,что
функция является бинарным отношением.

[Ulya]

Если д-ть 20,то из того,что между рациональными числами существуют рациональный числа.Ведь может получиться,что эти интервалы (a,b) пересекаются.Тогда каждый интервал не получиться характеризовать рац.числом!Т.к.это рац.число может принадлежать двум этим интервалам!

[Woland]

Ulya писал(а):

Если д-ть 20,то из того,что между рациональными числами существуют рациональный числа.Ведь может получиться,что эти интервалы (a,b) пересекаются.Тогда каждый интервал не получиться характеризовать рац.числом!Т.к.это рац.число может принадлежать двум этим интервалам!

Каждое рациональное число представляется ввиде m/n. И характеризуется
определённой высотой h т.е h=|m|+n. Заметим , что каждой высоте
может соответствовать лишь конечное число рациональных чисел.
Возьмём высоту H=h1+h2,где h1 левый и соответственно правый концы отрезка, ей так же соответвует конечное чило рациональных чисел и равно h1*h2.
Таким образом мы каждому натуральному числу поставили в соответствие некоторый
класс рациональных чисел, состоящих лишь из конечного числа элементов.
То есть множество таких классов счётно. А по скольку даже счётное множество
счётных множеств счётно. То тем более счётно наше множество.

[Ulya]

Спасибо.
И как,пользуясь тем,что мн-во счетных последовательностей из вещественных чисел имеет мощность континуума,д-ть пункты 11-13?

[Woland]

Ulya писал(а):

Спасибо.
И как,пользуясь тем,что мн-во счетных последовательностей из вещественных чисел имеет мощность континуума,д-ть пункты 11-13?

Создаётся такое впечатление, что Вы совершенно не хотите заглянуть в учебник.

[Ulya]

Woland почему Вы так думаете.У меня учебников в электронном варианте много,но там ничего такого не написано.Ну как быть?

[Ulya]

Цитата:

13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
или
8)Доказать,что произвольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
или
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.

Как это для начала доказать?!