Предел.

[Anton_74]

Подскажите куда копать, чтобы найти предел:

$ \lim\limits_{t_1 \to t_2} -\frac{ln\left(\frac{t_2}{t_1}\right)}{t_1-t_2} $

Т.е. нужно определить как функция ведет себя на кривой $t_1= t_2$.

[ИСН]

Логарифм произведения чему-то равен.

[Anton_74]

ИСН в сообщении #357049 писал(а):

Логарифм произведения чему-то равен.

Минус пока отбросим.
$ \frac{ln(t_2) - ln(t_1)}{t_1-t_2} = \frac{ln(t_2)}{t_1-t_2} - \frac{ln(t_1)}{t_1-t_2} $

Тут тоже неопределенность возникает.

А если произведение рассмотреть, то
$\frac{ln(t_2) + ln(\frac{1}{t_1})}{t_1-t_2} = \frac{ln(t_2)}{t_1-t_2} + \frac{ln\left(\frac{1}{t_1}\right)}{t_1-t_2}$
и в чем разница.

Я вообще думал про правило Лопиталя, тут я как то затрудняюсь. Или можно как ты выкрутиться?

[Alexey1]

А чем Лопиталь не нравится?

[paha]

Воспользуйтесь определением производной

-- Вт сен 28, 2010 20:51:01 --

Для удобства замените $t _2=t _1+\varepsilon$

[Maslov]

А ещё можно попробовать

$\dfrac{\ln\dfrac{t_1}{t_2}}{t_1-t_2} = \ln \left( \dfrac{t_1}{t_2}\right) ^{\frac{1}{t_1-t_2}$

а потом свести к какому-нибудь из замечательных пределов.

Но как paha предложил покрасивше будет.

[Anton_74]

Ну вроде бы понял.

Т.е. в этом примере надо считать независимой переменной $t1$, а $t_2$ как какое то значение. И для правила Лопиталя нужно взять производную числителя и знаменателя по $t1$. У меня получилось $\frac{1}{t_2}$, с maple тоже совпадает. Или не так?

[ewert]

Anton_74 в сообщении #357075 писал(а):

И для правила Лопиталя нужно взять производную

Да не нужно:

paha в сообщении #357065 писал(а):

Воспользуйтесь определением производной

Ну так вот же ж оно, определение -- прям у Вас перед глазами.

[Anton_74]

paha в сообщении #357065 писал(а):

Воспользуйтесь определением производной

-- Вт сен 28, 2010 20:51:01 --

Для удобства замените $t _2=t _1+\varepsilon$

Т.е. имеется в виду, что если сделать замену, то получится нечто похожее на определение производной.

Сделал замену, неопределенность, воспользовался Лопиталем, получилось $\frac{1}{t_1}$

[Maslov]

Anton_74 в сообщении #357086 писал(а):

Не совсем понял, где применять определение производной.

Да просто напишите определение производной функции $\ln(t)$ в точке $t_2$ и посмотрите на него внимательно.

[Anton_74]

Maslov в сообщении #357088 писал(а):

Anton_74 в сообщении #357086 писал(а):

Не совсем понял, где применять определение производной.

Да просто напишите определение производной функции $\ln(t)$ в точке $t_2$ и посмотрите на него внимательно.

Я предыдущий свой пост поправил, спасибо за подробную помощь.

-- Вт сен 28, 2010 21:46:15 --

Хотя задумался, ну запишу я:
$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{ln(t_2 + \varepsilon) - ln(t_2)}{\varepsilon} $
Но что то я из этого ничего не вижу :(

Кароче сделал так:
$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{ln\left( \frac{t_1 + \varepsilon}{t_1} \right)}{\varepsilon} $
и уже отсюда лопиталь, и потом нормально предел считается. Вроде бы так?

[ewert]

Anton_74 в сообщении #357092 писал(а):

Я предыдущий свой пост поправил,

, но не в ту сторону.

Наверное, стоит прокомментировать. К сожалению, очень многие студенты относятся к формальным определениям как просто к игре значков, которую надо просто спихнуть на экзамене, не вникая в их смысл. Для них производная -- это предел $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, и никак иначе, ибо так в книжке написано. А вот что это ровно то же самое, что и предел $\dfrac{f(\widetilde x)-f(x)}{\widetilde x-x}$ -- на этот счёт подумать уже лень.

В оправдание студентов можно сказать лишь, что они вполне в струе. Политика партии и правительства заставляет их думать именно в эту сторону. Ибо часы на математику съёживаются -- последовательно и неуклонно. И вообще кому они нужны (в партии и правительстве), эти математики.

[Anton_74]

ewert в сообщении #357100 писал(а):

Anton_74 в сообщении #357092 писал(а):

Я предыдущий свой пост поправил,

, но не в ту сторону.

Наверное, стоит прокомментировать. К сожалению, очень многие студенты относятся к формальным определениям как просто к игре значков, которую надо просто спихнуть на экзамене, не вникая в их смысл. Для них производная -- это предел $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, и никак иначе, ибо так в книжке написано. А вот что это ровно то же самое, что и предел $\dfrac{f(\widetilde x)-f(x)}{\widetilde x-x}$ -- на этот счёт подумать уже лень.

В оправдание студентов можно сказать лишь, что они вполне в струе. Политика партии и правительства заставляет их думать именно в эту сторону. Ибо часы на математику съёживаются -- последовательно и неуклонно. И вообще кому они нужны (в партии и правительстве), эти математики.

Спасибо большое за первый абзац! А второй я даже не знаю как комментировать, преподавателям виднее.

Всем спасибо за помощь!

[paha]

Anton_74 в сообщении #357092 писал(а):

Хотя задумался, ну запишу я:
$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{ln(t_2 + \varepsilon) - ln(t_2)}{\varepsilon} $
Но что то я из этого ничего не вижу :(

все-таки это за гранью

[Anton_74]

paha в сообщении #357152 писал(а):

Anton_74 в сообщении #357092 писал(а):

Хотя задумался, ну запишу я:
$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{ln(t_2 + \varepsilon) - ln(t_2)}{\varepsilon} $
Но что то я из этого ничего не вижу :(

все-таки это за гранью

В смысле? :)