кое-что про теорему Пеано

[terminator-II]

Рассмотрим систему ОДУ $\dot x=f(t,x)\in C(\mathbb{R}_t\times\mathbb{R}^m_x,\mathbb{R}).$
Что бы не заботиться о продолжаемости решений будем считать, что $\sup_{\mathbb{R}_t\times\mathbb{R}^m_x} \|f(t,x)\|<\infty.$
Предположим, что при каждом $\hat x\in \mathbb{R}^m$ решение данной системы с начальным условием $x(t=0)=\hat x$ единственно.
Обозначим это решение через $x(t,\hat x)$.

Доказать, что общее решение этой системы непрерывно зависит от $\hat x$.
Т.е. если $\hat x_k\to\hat x$ то
$\max_{|t|\le T}\|x(t,\hat x_k)-x(t,\hat x)\|\to 0$ при любом фиксированном $T$.

[ewert]

А разве это задача?... Мне всегда казалось, что это некоторая стандартная теорема. Во всяком случае, лет десять назад я её студентам честно доказывал (сегодня ни за что б не решился). Цитирую по сохранившемуся конспекту:


Рассмотрим задачу Коши с параметрами $p$:

$$ \left\{\begin{array}{lr}y'(t)=f(t,y,p)\,; &\ (1a) \\ y(s)=z\,. &\ (1b)\end{cases}\right. $$

Введем обозначение:

$$\Omega_{\omega}\equiv\{(t,s,z,p):\ (s,z,p)\equiv\vec v\in\Omega,\ t\in(\omega_-(\vec v);\omega_+(\vec v))\}$$

-- множество, на котором определены все решения $\eta(t;s,z,p)$ задачи $(1)$ (здесь $\omega_{\pm}(\vec v)$ -- границы максимального интервала существования соответствующего решения).

\bf{Теорема 2} {\it(непрерывная зависимость решений от параметров)}. Предположим: \par\noindent$({\bf i})$ \hbox{$f(t,y,p)$} непрерывна в некоторой области $\Omega$; \par\noindent $({\bf ii})$ через каждую точку области $\Omega$ проходит только одна интегральная кривая. \par\noindent Тогда: \par\noindent $({\bf a})$ решение \hbox{$\eta(t;s,z,p)$} задачи $(1)$ непрерывно на $\Omega_{\omega}$; \par\noindent $({\bf b})$ для каждого \hbox{$\rho>0$} найдется такое $\delta$, что при \hbox{$(t,s,z,p)\in N_{(t_0,s_0,z_0,p_0),\delta}$} \ все графики \hbox{$\Gamma(t,s,z,p)$} попадают в \hbox{$\rho$-окрестность} графика \hbox{$\Gamma(t_0,s_0,z_0,p_0)$}.$

($\Gamma(t,s,z,p)$ -- это график решения на отрезке $[s;t]$)

[Padawan]

В общем, теорему Арцела-Асколи надо использовать. Если бы не сходилась последовательность, то тогда можно выделить подпоследовательность, которая сходится к другому решению, что по условию невозможно.

[terminator-II]

ewert
я привык к тому, что теорема о непрерывной зависимости доказывается для уравнений с липшицевой правой частью. Это очень просто: последовательные приближения сходятся равномерно по параметру.

То, что я сформулировал в качестве задачи, естественно известно, и естественно есть в какой-то толстой книжке.

Впрочем можно поставить вопрос иначе. Замените в сформулированной теореме $\mathbb{R}^m$ на произвольное банахово пространство. И докажите, что если данная теорема верна , то банахово пространство конечномерно.

[Padawan]

Ничего, что задача не подходит под понятие "олимпиадная". Насколько я понимаю функцию раздела, здесь размещаются задачи, решение которых автору известно. Бывает, что заметишь какой-нибудь интересный факт и хочется им поделиться. При этом наблюдение может быть и простым, но тем не менее все равно интересным.

[terminator-II]

Ну я в предыдущем посте уже сформулировал задачу. Олимпиадную. Поскольку у нас тут олимпиадные задачи доценты решают, то в самый раз будет. Лет 30 назад потянула бы на дисер.

[ewert]

terminator-II в сообщении #357014 писал(а):

И докажите, что если данная теорема верна , то банахово пространство конечномерно.

Ну, наверное, можно доказать. Но как-то не хочется в эту сторону. Странно, если бы было иначе, раз в доказательстве существенно используются соображения компактности.

-- Вт сен 28, 2010 18:58:26 --

terminator-II в сообщении #357026 писал(а):

а откуда Вы знаете существенно они используются или мы просто другого способа не знаем?

Строго говоря, я этого не знаю, просто энтузиазма нет. Давайте я Вам предложу другую задачку -- собственно, очищенный вариант этой: доказать, что в случае бесконечномерных значений функции теорема Арцела неверна. Я даже не знаю, строго говоря, правда ли это; но чего-то не тянет в этом сомневаться и что-то в эту сторону доказывать.

[terminator-II]

ewert в сообщении #357022 писал(а):

доказать, что в случае бесконечномерных значений функции теорема Арцела неверна.

смотря, что Вы подразумеваете под теоремой Арцела. Есть бесконечномерная версия. Если Вы хотите сказать, что равностепенно непрерывное и равномерно ограниченное семйство непрерывных банаховозначных функций не является относительно компактным вообще говоря, так это очевидно. Просто из некомпактности шара следует.