Вообщем не понятно что Вы хотели сказать

Нет, это, возможно, я не понял условия, оно (на мой взгляд) довольно невнятно сформулировано:
Задача: если линейный функционал

- ограничен, где

- плотен и линеен,

,

- гильбертовы пространства,то существует

.
Я его понял так:
"Пусть

- гильбертовы пространства, оператор

- линеен и плотно определён и вектор

таков, что линейный функционал

ограничен. Тогда существует

."
(другой возможной интерпретации того текста как-то не видится). Ну это правда, конечно, только тогда это никакая не задача, а попросту ссылка на теорему Рисса, украшенная разными бантиками (продолжение по непрерывности -- это уж само собой). Вот ввиду бессодержательности вопроса я и принялся дофантазировать, к чему бы все эти бантики и что бы под всем этим могло иметься в виду.