как использовать ограниченность функционала?

[kkar]

Задача: если линейный функционал $A: x\to (Tx,y), $ - ограничен, где $T: H_1\to H_2$ - плотен и линеен, $y\in H_2$, $H_1, H_2$ - гильбертовы пространства,то существует $y^*\in H_1: \forall x\in T_D \quad (Tx,y)=(x,y^*)$.

Для ограниченных линейных операторов существует сопряженный. Это я и хотел использовать, чтобы найти $y^*$ (применив теорему об общем виде линейного функционала) , но А - функционал, к нему вроде сопряженные не строятся. Помогите советом, пожалуйста.

[ShMaxG]

Ну вообще-то, функционал -- частный случай оператора. А что такое $T_D$?

[ewert]

kkar в сообщении #356465 писал(а):

Задача: если линейный функционал $A: x\to (Tx,y), $ - ограничен, где $T: H_1\to H_2$ - плотен и линеен, $y\in H_2$, $H_1, H_2$ - гильбертовы пространства,то существует $y^*\in H_1: \forall x\in T_D \quad (Tx,y)=(x,y^*)$.

Это какая-то перевёрнутая логика. Это не задача, а просто определение сопряжённого оператора в неограниченном случае. Если для данного игрека существует такой игрек со звёздочкой, то тогда по определению просто игрек считается принадлежащим области определения сопряжённого оператора, а игрек со звёздочкой -- значением сопряжённого оператора на том самом просто игреке.

[ShMaxG]

А зачем нам здесь вообще думать о сопряженных операторах? По условию дан непрерывный функционал, определенный на гильбертовом пространстве. Для него тот самый игрек со звездочкой существует (и зависит лишь от $T$ и $y$).

[kkar]

Но ведь существование такого игрека и надо доказать, а из определения оно не следует.

ShMaxG, $T_D$ - область определения оператора.
А почему для этого функционала тот самый игрек существует? Как для частного случая непрерывного оператора?

[ShMaxG]

kkar в сообщении #356486 писал(а):

А почему для этого функционала тот самый игрек существует?

kkar в сообщении #356465 писал(а):

применив теорему об общем виде линейного функционала

[kkar]

О, понятно, спасибо!

[ewert]

kkar в сообщении #356486 писал(а):

А почему для этого функционала тот самый игрек существует?

А он (который со звёздочкой) вовсе и не обязан существовать. Но вот если он всё-таки существует (т.е., что эквивалентно, если тот функционал для того, исходного игрека не только линеен, но ещё и ограничен) -- вот тогда и последствия.

[terminator-II]

ShMaxG
Прежде чем применять теорему об общем виде линейного функционала, этот линейный функционал следует сперва продолжить c $D_T$ на все $H_1$. Для этого НЕ нужна теорема Хана-Банаха

ewert в сообщении #356495 писал(а):

А он (который со звёздочкой) вовсе и не обязан существовать. Но вот если он всё-таки существует (т.е., что эквивалентно, если тот функционал для того, исходного игрека не только линеен, но ещё и ограничен)

Это можно можно понять так, что сопряженый оператор бывает только у ограниченного или что сопряженный оператор может быть только ограниченным. Вообщем не понятно что Вы хотели сказать

[ewert]

terminator-II в сообщении #356886 писал(а):

Вообщем не понятно что Вы хотели сказать

Нет, это, возможно, я не понял условия, оно (на мой взгляд) довольно невнятно сформулировано:

kkar в сообщении #356465 писал(а):

Задача: если линейный функционал $A: x\to (Tx,y), $ - ограничен, где $T: H_1\to H_2$ - плотен и линеен, $y\in H_2$, $H_1, H_2$ - гильбертовы пространства,то существует $y^*\in H_1: \forall x\in T_D \quad (Tx,y)=(x,y^*)$.

Я его понял так:

"Пусть $H_1, H_2$ - гильбертовы пространства, оператор $T: H_1\to H_2$ - линеен и плотно определён и вектор $y$ таков, что линейный функционал $A: x\to (Tx,y)$ ограничен. Тогда существует $y^*\in H_1\colon \forall x\in T_D \quad (Tx,y)=(x,y^*)$."

(другой возможной интерпретации того текста как-то не видится). Ну это правда, конечно, только тогда это никакая не задача, а попросту ссылка на теорему Рисса, украшенная разными бантиками (продолжение по непрерывности -- это уж само собой). Вот ввиду бессодержательности вопроса я и принялся дофантазировать, к чему бы все эти бантики и что бы под всем этим могло иметься в виду.

[terminator-II]

Да задача неуклюжая, видимо требовалось вспомнить теорему об общем виде линейного функционала и продолжить ограниченный функционал на все пространство. Наверное общую теорему о продолжении ограниченного линейного оператора с плотного множества на все пространство они не проходили.

[ewert]

terminator-II в сообщении #356907 писал(а):

Наверное общую теорему о продолжении ограниченного линейного оператора с плотного множества на все пространство они не проходили.

Это было бы крайне странно. Впрочем, это могло бы и не быть теоремой, а просто замечанием -- на гордое звание теоремы оно не вполне тянет.

[terminator-II]

С моей точки зрения "теорема" это то, что важно, а не то, что нетривиально доказывается. Кстати, в англоязычной литературе это называется BLT Theorem (B Driver Lecture notes in Analysis tools ...)