Вычислить определенный интеграл от трансцендентной функции

[polyedr]

Чему равен

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{ae^x+1} dx,$$

$a\ne 1$?

[ИСН]

Железка сообщает (да это и так видно), что замешан PolyLog - значит, в элементарных никак, кроме специальных значений a, каковые Вы, кажется, уже знаете.

[polyedr]

Спасибо за обнадеживающей ответ!

[Полосин]

Сделайте замену $e^{-x}=t$ и воспользуйтесь формулой $\int\limits_0^1\ln\dfrac1t\dfrac{dt}{b-t}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{b^{-k}}{k^2}$, $|b|>1$.

[Padawan]

А если $a<1$ ?

[polyedr]

Ну, пусть хоть так.

[Полосин]

Если $0<b<1$, то идея та же: $\int\limits_0^1\ln t\dfrac{dt}{t-b}=\int\limits_0^b+\int\limits_b^1\ln \dfrac{t}{b}\dfrac{dt}{t-b}+\dfrac{1-b}{b}\ln b$, а последние интегралы простыми заменами сводятся к легко вычисляемым через разложение в ряд интегралам вида $\int\limits_0^z\ln(1-t)\dfrac{dt}t$.