Несколько вопросов по теории чисел

[polyedr]

Я уже отредактировал

[ИСН]

Можно придумать ещё. А смысл?

[polyedr]

В первом вопросе сформулирована основная проблема и основное предложение можно сформулировать в несколько ином виде: существуют ли такие функции $f(n)$(условия для $f$ остаются без изменений), что предел дробной части данной функции непостоянен, то есть, не существует, а равенство $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})=1$ было бы верно.

-- Сб сен 25, 2010 14:52:17 --

Второй вопрос - это как бы приложение первого. Но как известно, иногда теоремы становятся гипотезами или "почти-гипотезами", если найдутся контрпримеры, ее подтверждающие или опровергающие; поэтому я и задал второй вопрос подобно проблеме отыскания конкретного примера.

[ИСН]

А на кой Вы сюда потом приплели экспоненты от полиномов? Впрочем, и то хлеб: у них очевидным образом $\lim\limits_{n\to\infty}\{f^{-1}(n)\}$ не существует, а для прямой функции - существует, то есть Ваше условие не достаточное.
Покажем теперь, что оно и не необходимое. Вот график. Он проходит через точки:
$(1,{2\over 3})$
$(1{1\over 3},1)$
$(2,1{1\over 3})$
$(2{2\over 3},2)$
$(3,2{2\over 3})$
$(3{1\over 3},3)$
$(4,3{1\over 3})$
$(4{2\over 3},4)$
и так далее. Соединить можно как угодно, хоть прямыми.
Приехали.

[polyedr]

Цитата:

А на кой Вы сюда потом приплели экспоненты от полиномов? Впрочем, и то хлеб: у них очевидным образом $\lim\limits_{n\to\infty}\{f^{-1}(n)\}$ не существует, а для прямой функции - существует, то есть Ваше условие не достаточное.

Почему не существует? Мне это не очевидно. Обоснуйте!
А насчет достаточности: как же тогда пример с функцией $f(n)=\sqrt{n^2+bn+c}$?

Цитата:

Покажем теперь, что оно и не необходимое. Вот график. Он проходит через точки:
$(1,{2\over 3})$
$(1{1\over 3},1)$
$(2,1{1\over 3})$
$(2{2\over 3},2)$
$(3,2{2\over 3})$
$(3{1\over 3},3)$
$(4,3{1\over 3})$
$(4{2\over 3},4)$
и так далее. Соединить можно как угодно, хоть прямыми.
Приехали.

Как угодно боюсь не получится. И при том, Вы представили себе границу дробной части обратной функции? Даже если соединить точки прямыми, то чему будет равен предел дробной части такой функции?

-- Сб сен 25, 2010 15:58:07 --

Может тогда это прояснит ситуацию: каким дополнительным условиям должна удовлетворять функция $f$, чтобы выполнялось соотношение $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})=1$. Есть некоторые предположения: функция $f$ с ростом $n$ должна вести себя как $n$ или же предел ее дробной части равен 1(это вытекает непосредственно из геометрических соображений).

[ИСН]

Я, кажется, перепутал необходимость и достаточность, но один чёрт: ни той, ни другой нет. Как же Ваш пример, не знаю. Серая кошка не доказывает, что все кошки серы.

polyedr в сообщении #356053 писал(а):

Почему не существует? Мне это не очевидно. Обоснуйте!

Потому что обратная функция - медленно растущая, что-то типа логарифма, на каждый отрезок между двумя целыми попадает не одно её значение, а множество - десятки, сотни, дальше хуже; и они раскиданы по разным его частям.

polyedr в сообщении #356053 писал(а):

Как угодно боюсь не получится. И при том, Вы представили себе границу дробной части обратной функции? Даже если соединить точки прямыми, то чему будет равен предел дробной части такой функции?

ОК, соедините прямыми в указанном порядке. Да, представил. Предел не будет существовать, что для обратной функции, что для прямой. А суммарный $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})$ - будет.

[polyedr]

А есть ли какие то мысли по последнему, добавленному мной, посту?

[ИСН]

Здесь не ожидаю ничего красивого. Правда, мой пример (где график по точкам) действительно растёт как $n$. Но думаю, это можно обойти.