Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Вот, не подумала как следует
Ведь для нетрадиционных квадратов в методе составных квадратов можно прибавлять любые числа $mk$, а не только числа вида $9k$, как для классических квадратов.
Вот, например, какой ассоциативный квадрат получается при прибавлении чисел вида $210k$:

227 299 281 1277 1349 1331 1067 1139 1121
323 269 215 1373 1319 1265 1163 1109 1055
257 239 311 1307 1289 1361 1097 1079 1151
1697 1769 1751 857 929 911 17 89 71
1793 1739 1685 953 899 845 113 59 5
1727 1709 1781 887 869 941 47 29 101
647 719 701 437 509 491 1487 1559 1541
743 689 635 533 479 425 1583 1529 1475
677 659 731 467 449 521 1517 1499 1571

Так здесь уже больше половины чисел простые!

Тогда и для простых чисел вполне можно получить идеальный квадрат 9-го порядка по данному алгоритму.

Ещё раз формулирую задачу: требуется найти 9 арифметических прогрессий из простых чисел (или из чисел смита) длины 9 с любой (одинаковой) разностью такие, что из первых членов этих прогрессий можно составить МК 3-го порядка.

Как известно, последнее условие равносильно такому условию: первые члены этих прогрессий должны образовывать три арифметические прогрессии с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы из 9 чисел можно было составить МК 3-го порядка.

Вот, кругом арифметические прогрессии
Но задача вполне может иметь решение. А это значит, что мы построим идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел или из смитов, коль скоро найдутся такие арифметические прогрессии.

-- Пт сен 24, 2010 15:05:06 --

Вот ссылка на вторую часть статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты":
http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr1.htm

Жду ваших замечаний, коллеги!
Какие упущения, неточности, ошибки найдёте, пожалуйста, сообщите.

[Nataly-Mak]

Вчера весь вечер рассматривала построенный нетрадиционный пандиагональный (идеальный) квадрат 9-го порядка.
Интересные там закономерности открываются.

Pavlovsky,
помните идею про 9 примитивных квадратов 3х3? Тогда у нас ничего не получилось с этой идеей.
Надо из примитивных квадратов 3х3 составлять не примитивный квадрат 9х9, а сразу пандиагональный.

Представленный выше пандиагональный квадрат 9-го порядка состоит из 9 примитивных квадратов 3х3! Причём в этих квадратах суммы чисел по диагоналям равны S/3 = 285, а суммы всех чисел равны магической константе квадрата. Во-о-о-т!
Например, такие примитивные квадраты 3х3:

26 98 80 
89 161 143
44 116 98

71 143 125
53 125 107
35 107 89

Далее, если составлять идеальный квадрат, понятно, что надо найти набор, состоящий не менее чем из 40 комплементарных пар, так чтобы число, стоящее в центральной ячейке квадрата, тоже было простым числом (оно равно сумме чисел в парах делённой пополам). Всё аналогично построению идеальных квадратов 5-го и 7-го порядков, только переменных намного больше. Но теоретически ничто не мешает найти такой набор и составить из чисел этого набора идеальный квадрат 9-го порядка.

Хотя практически это сделать, наверное, непросто. Я до сих пор не нашла идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел, проверила уже много наборов комплементарных пар, не складывается квадрат. Программа быстро работает, один набор проверяет несколько секунд.

Но вот, может быть, для пандиагональных квадратов 9-го порядка что-то можно извлечь из примитивных квадратиков 3х3, попытаться их строить. Для них ещё есть кое-какие закономерности, ещё не выявила до конца.

Подключайтесь к анализу!

maxal
а вы искали идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел? Я уже проверила до магической константы 31633, так и не нашла квадрат.

-- Сб сен 25, 2010 09:00:38 --

Забыла сказать. Нашла вчера в своих фолиантах классический пандиагональный квадрат 9-го порядка, который не является идеальным. У меня большинство классических квадратов 9-го порядка идеальные, специально стремилась идеальные строить.
Ну, вот один нашёлся не идеальный:

9 34 62 12 37 65 24 49 77
15 40 68 27 52 80 3 28 56
21 46 74 6 31 59 18 43 71
35 63 7 38 66 10 50 78 22
41 69 13 53 81 25 29 57 1
47 75 19 32 60 4 44 72 16
61 8 36 64 11 39 76 23 51
67 14 42 79 26 54 55 2 30
73 20 48 58 5 33 70 17 45

В этом квадрате такие же закономерности для примитивных квадратов 3х3. Это обнадёживает

А вот посмотрела на классический нерегулярный пандиагональный квадрат 9-го порядка, приведённый в статье Россера, в нём таких закономерностей нет.

-- Сб сен 25, 2010 09:31:45 --

И ещё один нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка, годится для анализа. Это уже "хороший" нетрадиционный квадрат, в том смысле, что в нём нет одинаковых чисел. Но он пока ещё не составлен из простых чисел, 32 числа в этом квадрате не являются простыми.

227 1277 1067 299 1349 1139 281 1331 1121
323 1373 1163 269 1319 1109 215 1265 1055
257 1307 1097 239 1289 1079 311 1361 1151
1697 857 17 1769 929 89 1751 911 71
1793 953 113 1739 899 59 1685 845 5
1727 887 47 1709 869 29 1781 941 101
647 437 1487 719 509 1559 701 491 1541
743 533 1583 689 479 1529 635 425 1475
677 467 1517 659 449 1499 731 521 1571

Константа ассоциативности (комплементарности) равна 1798, магическая константа равна 8091.

Выше был показан ассоциативный квадрат, построенный методом составных квадратов, из которого получен приведённый идеальный квадрат (путём перестановки столбцов).

[Nataly-Mak]

Приходится продолжать монолог

В пандиагональных квадратах 9-го порядка одни примитивные квадраты 3х3, по какой решётке ни возьми. А можно вообще не в решётках брать, а просто подряд, всё равно примитивные квадраты 3х3 получаются.
Конфигурация в общем виде:

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
d1 e1 f1 d2 e2 f2 d3 e3 f3
g1 h1 m1 g2 h2 m2 g3 h3 m3
a4 b4 c4 a5 b5 c5 a6 b6 c6
d4 e4 f4 d5 e5 f5 d6 e6 f6
g4 h4 m4 g5 h5 m5 g6 h6 m6
a7 b7 c7 a8 b8 c8 a9 b9 c9
d7 e7 f7 d8 e8 f8 d9 e9 f9
g7 h7 m7 g8 h8 m8 g9 h9 m9

при этом все квадраты 3х3

ai bi ci 
di ei fi
gi hi mi

примитивные квадраты, в которых суммы чисел в главных диагоналях равны S/3, а сумма всех чисел равна S, S - магическая константа квадрата.
Есть ещё некоторые закономерности, связывающие эти примитивные квадраты.
И по решётке если брать, тоже примитивные квадраты 3х3 получаются, например:

a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9

b1 b2 b3
b4 b5 b6
b7 b8 b9

и т. д.
И в этих примитивных квадратах такие же закономерности.

А если рассматривать идеальный квадрат 9-го порядка, то конфигурация примет следующий вид:

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
d1 e1 f1 d2 e2 f2 d3 e3 f3
g1 h1 m1 g2 h2 m2 g3 h3 m3
a4 b4 c4 a5 b5 c5 a6 b6 c6
d4 e4 f4 d5 e5 d5' f4' e4' d4'
c6' b6'a6' c5' b5' a5' c4' b4' a4'
m3' h3' g3' m2' h2' g2' m1' h1' g1'
f3' e3' d3' f2' e2' d2' f1' e1' d1'
c3' b3' a3' c2' b2' a2' c1' b1' a1'

При этом e_5 = S/9. И все примитивные квадраты 3х3 тоже имеются, и закономерности в них те же самые. Но переменных намного меньше, так как половина элементов находится по свойству ассоциативности.

Почему Россер не рассмотрел построение нетрадиционных пандиагональных квадратов 9-го порядка? Ломай вот теперь голову над ними

[Nataly-Mak]

Дописала вторую часть статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты".

Прошу комментариев, уважаемые коллеги.

Pavlovsky
ау! Что вы скажете о представленной схеме пандиагонального квадрата 9-го порядка? Можно по ней построить пандиагональный квадрат из простых чисел?

И svb опять загулял

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #356062 писал(а):

ау! Что вы скажете о представленной схеме пандиагонального квадрата 9-го порядка? Можно по ней построить пандиагональный квадрат из простых чисел?

Попробовать можно, правда пока непонятно как.

Вот найденный вами примитивный квадрат 9х9

  11     41    131    181    211    431    601    701   2081
  29     59    149    199    229    449    619    719   2099
  71    101    191    241    271    491    661    761   2141
 137    167    257    307    337    557    727    827   2207
 197    227    317    367    397    617    787    887   2267
 239    269    359    409    439    659    829    929   2309
 263    293    383    433    463    683    853    953   2333
1289   1319   1409   1459   1489   1709   1879   1979   3359
6101   6131   6221   6271   6301   6521   6691   6791   8171

Осталось из этого набора чисел построить пандиагональный МК.

-- Сб сен 25, 2010 18:23:55 --

Цитата:

В последовательности A179440 в OEIS на сегодня есть магические константы пандиагональных квадратов из простых чисел порядков 4 – 8. При этом только для порядков 4 – 6 доказана минимальность магических констант. Для квадратов порядков 7 – 8 результаты улучшены, но минимальность полученных квадратов не доказана. На сегодня последовательность магических констант выглядит так: 240, 395, 486, 1649, 1584.

Совершенно очевидно текущие магические константы для квадратов порядков 7,8 очень далеки от минимальных.

-- Сб сен 25, 2010 18:42:06 --

Минимальные магические константы обыкновенных МК.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073502
111(n=3), 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416

Полагаю что с ростом порядка МК разница между минимальными константами обыкновенных и пандиагональных квадратов будет уменьшаться. И даже может быть начиная с некоторого n минмальные магические константы этих квадратов будут равны.

[Nataly-Mak]

Ну, слава Богу, хоть один коллега отозвался

Начну с конца: вы взяли в OEIS последовательность магических констант из последовательных простых чисел, а надо смотреть на квадраты из произвольных чисел, это последовательность A164843. В этой последовательности константы такие:

177 (n = 3), 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470

Найденные нами минимальные константы для пандиагональных квадратов порядков 4 - 6 достаточно близки к минимальным константам обычных МК. А вот о квадратах порядков 7 - 8 этого не скажешь. Особенно большая разница для квадрата 7-го порядка (733 и 1649). Для квадратов порядка 8 я значительно уменьшила разрыв, сейчас наименьшая константа пандиагонального квадрата данного порядка 1584, а была 2640.

Теперь о пандиагональном квадрате 9-го порядка. Примитивный квадрат, который вы показали, что в нём толку? Как из него строить пандиагональный квадрат?
А моя новая схема очень прозрачная. Может, я непонятно изложила её?
Вы спросите, если что-то непонятно.

Сейчас уже прикинула для идеального квадрата, там же очень мало независимых переменных получается, я всего 11 насчитала, но могла ошибиться, не очень внимательно считала. Там же эти примитивные квадраты здорово помогают.
Сейчас прямо уже загорелась начать программу писать.

[Nataly-Mak]

Вспомнила, что у нас нет идеального квадрата 8-го порядка из простых чисел (из смитов тоже нет). А я уже взялась за построение идеального квадрата 9-го порядка. Начала вчера писать программу, но об этом чуть позже.

Решила посмотреть, нельзя ли получить по моей новой программе для пандиагональных квдаратов 8-го порядка идеальный квадрат. Нет, нельзя, в идеальном квадрате другая структура (комплементарность по-другому, то бишь ассоциативность). Надо писать другую программу для идеального квадрата.
Зато получила симпатичный результат для пандиагонального квадрата, составленного из комплементарных пар. Для этого взяла в программе все 4 группы с отклоненим равным 0 (p_1 = 0, p_3 = 0), в каждой группе ровно 32 комплементарных пары, константа комплементарности равна 510, магическая константа квадрата равна 2040. Квадрат построился за 2 минуты. Вот он:

7 499 19 487 31 467 67 463
53 421 233 409 71 379 157 317
61 347 239 401 79 373 227 313
173 311 241 179 113 359 281 383
479 43 443 47 503 11 491 23
439 131 353 193 457 89 277 101
431 137 283 197 449 163 271 109
397 151 229 127 337 199 269 331

А раньше я строила подобный квадрат долго, так как искала 4 пандиагональных квадрата 4-го порядка с одинаковой магической константой, но составленные из различных чисел. И удалось это сделать только для магической константы 2640. Таким образом, и этот результат улучшен.

Из приведённого квадрата получается ассоциативный квадрат при помощи преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов.

-- Вс сен 26, 2010 10:06:54 --

Сейчас прикинула схему для идеального квадрата 8-го порядка. Странно, но получилось тоже 24 независимых переменных, как и для пандиагонального квадрата по моему алгоритму. Но можно попытаться построить. Нало неписать программу.

А вот для идеального квадрата 9-го порядка у меня всего выходит 11 независимых переменных! Там примитивные квадраты здорово помогают.
Покажу результат выполнения двух этапов программы:

5  58  33  1  80  79  6  64  43 
 25  78  53  0  0  0  0  0  0 
 12  65  40  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  41  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  42  17  70 
 0  0  0  0  0  0  29  4  57 
 39  18  76  3  2  81  49  24  77

Конечно, тестировать буду на классическом квадрате, потому что больше не на чем.
На первом этапе формируется первая строка, это 8 независимых переменных (магическая константа квадрата задаётся), вместе с первой строкой формируется и девятая - по ассоциативности.
А теперь начинаем формировать примитивные квадратики 3х3, тут уже один такой квадратик сформирован. А для формирования примитивного квадратика уже достаточно одной независимой переменной.

Мне кажется, что всё должно получиться. Надеюсь

[Nataly-Mak]

Хотела в предыдущем посте исправить опечатки, а его уже закрыли для редактирования. Пусть живёт с опечатками

Вот результат работы 4-х этапов программы построения идеального квдарата 9-го порядка:

5  58  33  20  73  48  16  72  44 
 26  79  54  14  67  42  1  57  29 
 11  64  39  8  61  36  22  78  50 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  41  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 32  4  60  46  21  74  43  18  71 
 53  25  81  40  15  68  28  3  56 
 38  10  66  34  9  62  49  24  77

Для формирования этих строк задействовано всего 11 независимых переменных, то есть в программе будет всего 11 вложенных циклов. Оставшиеся три примитивных квадрата надеюсь сформировать без новых независимых переменных. Пока не уверена, что получится; возможно, придётся задействовать ещё одну независимую переменную.

[BoBuk]

2 Nataly-Mak
У меня к вам вопрос. Поиск магических квадратов является ли нумерологией? Или это чистая математика?

[Nataly-Mak]

Я никогда не интересовалась нумерологией и не знаю, что это такое.
Магические квадраты интересуют меня только как математические объекты. Составление таких квадратов очень интересное занятие, особенно с привлечением программирования. Разработка алгоритмов построения плюс программная реализация этих алгоритмов - вот что привлекает меня в магических квадратах.

______

Кажется, получается с 11 независимыми переменными строить идеальный квадрат 9-го порядка. Вот ещё промежуточный результат:

5  58  33  20  73  48  17  70  45 
 26  79  54  14  67  42  2  55  30 
 11  64  39  8  61  36  23  76  51 
 0  32  0  75  47  19  0  44  0 
 0  53  0  69  41  13  0  29  0 
 0  38  0  63  35  7  0  50  0 
 31  6  59  46  21  74  43  18  71 
 52  27  80  40  15  68  28  3  56 
 37  12  65  34  9  62  49  24  77

Остаётся совсем немного.

[Nataly-Mak]

Да! Тест программа прошла успешно, вот такой выдала классический идеальный квадрат:

5  58  33  20  73  48  17  70  45 
 26  79  54  14  67  42  2  55  30 
 11  64  39  8  61  36  23  76  51 
 60  32  4  75  47  19  72  44  16 
 81  53  25  69  41  13  57  29  1 
 66  38  10  63  35  7  78  50  22 
 31  6  59  46  21  74  43  18  71 
 52  27  80  40  15  68  28  3  56 
 37  12  65  34  9  62  49  24  77

Теперь надо испытывать программу на простых числах.
Невероятно! Всего 11 независимых переменных!

[BoBuk]

Nataly-Mak в сообщении #356365 писал(а):

Я никогда не интересовалась нумерологией и не знаю, что это такое.

Так-таки и ничего?
Ну ладно, верю. Нумерологией называют то, когда по числу дня рождения определяют судьбу человека.

Цитата:

Магические квадраты интересуют меня только как математические объекты. Составление таких квадратов очень интересное занятие, особенно с привлечением программирования. Разработка алгоритмов построения плюс программная реализация этих алгоритмов - вот что привлекает меня в магических квадратах.

А меня интересуют другие математические объекты, численно совпадающие с реальными. Случайно совпадающие с реальными. Но образующие соответствующие множества, тем не менее.

В общем, понятно. Спасибо. Принято. Значит, магические квадраты нумерологией не являются.

[Nataly-Mak]

Попробовала программу построения идеального квадрата 9-го порядка для нескольких наборов комплементарных пар из простых чисел. Пока ничего не нашла. Несмотря на то, что независимых переменных в программе довольно мало (всего 11), программа выполняется очень долго; каждая переменная пробегает как минимум 40 значений (если в наборе точно 40 комплементарных пар, но пар может быть и больше). Это всё-таки получается огромное количество всех комбинаций при переборе. Мой компьютер с Бейсиком это не тянет. Придётся оставить эти эксперименты. Надо вернуться к идеальным квадратам 7-го порядка. Там программа хоть быстро выполняется. Однако пока идеальный квадрат данного порядка из простых чисел не найден.

Тут возникает вопрос: а существует ли он вообще?

Для построения такого квадрата, как я уже несколько раз писала, достаточно найти 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию.
Я таких прогрессий пока не нашла; пыталась немного, тут maxal выкладывал несколько арифметических прогрессий из простых чисел длины 7 с разностью 210. Я нашла ещё несколько таких прогрессий. Кстати, из этих прогрессий мне удалось построить нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка.
Но среди всех этих прогрессий я не нашла таких, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию.
Можно брать прогресси с любой другой разностью.

Сформулировала эту задачу ещё в одной теме, посвящённой простым числам. Там тишина. Или задачу никто и не пытался решать, или она не имеет решения.

Из арифметических прогрессий указанного вида можно построить и совершенный квадрат 6-го порядка. Сначала строится идеальный квадрат по алгоритму, описанному в статье "Нетрадиционные пандиагональные квадраты (часть I)", а затем к этому идеальному квадрату применяется преобразование 3-х квадратов.
Приведу совершенный квадрат 6-го порядка с дьявольской магической константой 666:

3 199 53 159 43 209
167 75 117 115 127 65
133 69 183 29 173 79
63 179 13 219 23 169
107 95 157 55 147 105
193 49 143 89 153 39

Этот квадрат обладает всеми свойствами, присутствующими в определении классических совершенных квадратов. Однако классические совершенные квадраты существую только для порядков n = 4k, k = 1, 2, 3, ....
Совершенные квадраты сохраняют все свои свойства при параллельном переносе на торе, в отличие от идеальных квадратов.

Пока у нас есть только совершенный квадрат 4-го порядка из простых чисел.
Существую ли совершенные квадраты из простых чисел порядков 6 - 8?

[Nataly-Mak]

Очень заинтересовал вопрос: можно ли построить совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел.
Написала программу, для совершенных квадратов у меня получилось всего 7 независимых переменных. Программа выполняется довольно быстро.
Что надо для этой программы? Надо совсем немного: находить наборы комплементарных пар из простых чисел (или из смитов), содержащие не менее 18 пар. Всё, больше ничего не надо.
Первый потенциальный набор получается с константой комплементарности равной 210 (сумма чисел в паре), он состоит из 19 пар (из этого набора построен первый пандиагональный квадрат 6-го порядка с магической константой 630).
Конечно, надо ещё учитывать, что магическая константа совершенного квадрата 6-го порядка должна быть кратна 6 (так как он является пандиагональным).
Проверила около десятка наборов комплементарных пар, совершенный квадрат пока не нашла.

Вот выкладываю программу-тест. Эта программа строит совершенные квадраты из того набора натуральных чисел, из которого составлен совершенный квадрат, показанный выше, то есть вот из такого набора комплементарных пар:

3 219 23 199 53 169 63 159 43 179 13 209 55 167 75 147 105 117 107 115 95 127 65 157 89 133 69 153 39 183 29 193 49 173 79 143

Программа сроит их много, я поставила счётчик в программе и разрешила построить 10 квадратов, что программа с успехом делает за считанные 5-10 секунд. Квадраты записываются в файл MK14.TXT.

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/SOV6.rar

В архиве есть текстовый файл A1.TXT, в котором записан приведённый набор комплементарных пар, и сама программа.
Программу надо просто запустить, она запросит ввести количество чисел в массиве, надо ввести 36 (в данном массиве 36 чисел), после этого программа начнёт работать и сразу будет выдавать совершенные квадраты.
Я не проверяла построенные квадраты на изоморфность, возможно, все они или некоторые изоморфны. Но суть не в этом, а в том, что программа совершенные квадраты строит из заданного набора комплементарных пар.

По этой же программе, ничего не изменяя и не добавляя, можно искать совершенные квадраты из простых чисел или из смитов.
Записывайте в файл A1.TXT набор комплементарных пар из простых чисел или из смитов (важно: набор должен быть записан упорядоченно, как показано, то есть первое число пары, второе число этой же пары и т. д.).
Запускайте программу, введите в неё количество чисел в вашем наборе (количество чисел равно количеству пар умноженному на 2). Всё! Ждите совершенного квадрата .
Я не стала выводить на экран никаких циклов. Программа выполняется не очень долго.

Приглашаю всех поэкспериментировать! Кто найдёт совершенный квадрат из простых чисел или из смитов, тому пирожок

Кстати, программа откомпилирована компилятором, выложенным svb. Да, ускорение очень заметное.

svb
ау! Вы опять ушли в отгулы?
Спасибо большое за новый компилятор. Классный! Я скачала минимальный набор (без хельпа).
Как у вас дела с пандиагональными квадратами 6-го порядка из смитов? Есть продвижения?

Да, забыла, для магических констант 6-го порядка из простых чисел Pavlovsky нашёл ещё одно необходимое условие. Надо и его тоже учитывать. Одним словом, надо брать потенциальные магические константы для пандиагональных квадратов, я эти константы, кажется, приводила. Начинать надо с магической константы 630, это минамально возможная констатна для совершенного квадрата из простых чисел. Но я для этой константы уже проверила, совершенный квадрат у меня не нашёлся

-- Вт сен 28, 2010 12:28:54 --

Если разрешить повторение чисел, то вот совершенный квадрат из простых чисел:

7 607 757 7 607 757
907 307 157 907 307 157
7 607 757 7 607 757
907 307 157 907 307 157
7 607 757 7 607 757
907 307 157 907 307 157

Магическая константа S = 2742, константа комплементарности S_c = S/3 = 914, сумма чисел в любом квадрате 2х2, расположенном в совершенном квадрате, равна 2S_c = 1828.
Сумма чисел в угловых ячейках совершенного квадрата равна этой же величине. Ну, свойство комплементарности - это само собой.
При параллельном переносе на торе совершенный квадрат сохраняет все свои свойства.
Просто чудо-квадрат, недаром он называется совершенным.

А вот составить такой чудесный квадратик из различных простых чисел не так-то просто.

[BoBuk]

Nataly-Mak в сообщении #356885 писал(а):

Если разрешить повторение чисел, то вот совершенный квадрат из простых чисел:

Наталья, а если не разрешать повторение простых чисел? Есть такие квадраты? Хоть с какими-нибудь свойствами. Пусть и не очень совершенные.
Вот это бы было интересно...
А ещё с близнецами...