Задача по Геометрии

[maxmatem]

Дан треугольник $ABC$, $AA_{1}$-медиана, $BB_{1}$-,биссектриса. Известно, что $\[AA_1 \bot BB_1 \] $
Доказать, что некая сторона треугольника $ABC$, в два раза больше другой стороны того же треугольника.
Но нельзя пользоваться ни теоремой пифагора, не теоремами косинусов, синусов, подобием, ..Только признаки равенств треугольников, и свойствами углов ну и определением медианы и биссектрисы.
Может есть идеи ?

[Sasha2]

Да какие там теоремы синусов м косинусов с подобиями, все и так на поверхности лежит.
Если P - это точка пересечения медианы $AA_1$ и биссектрисы $BB_1$, то тогда два прямоугольных треугольника $PAB$ и $PAB_1$ равны по катету и острым углам, прилежащим к ним.
Отсюда $AB=A_1B$, так как эти две стороны сходственные в этих двух равных прямоугольных треугольниках.
Ну и далее уже понятно, что $BC=2AB$

[maxmatem]

вы наверное имели в иду равенство треугольников $ABP$ и $BPA_{1}$.

[Sasha2]

Да именно так.

[Sasha2]

Кстати, а почему Вы задали такую простенькую задачку?
Это я к тому, что иногда сам таращусь в чертеж и не вмжу, а задачка то бывает весьма простенькой.
Как вот это можно объяснить? Или просто я тотально непригоден к геометрии, или же это можно как-то развить, чтобы видеть эти линии вспомогательные. Одним словом, как повысить остроту геометрического зрения?

[gris]

Составитель задачи часто идёт в обратном направлении.
Например, он хочет, чтобы было доказано равенство двух отрезков. Он их помещает в равные треугольники, а в треугольниках подразумевает использовать первый признак равенства. Причём равенство для одной пары будет следовать из равенства противоположных сторон параллелограмма, равенство для другой пары из равнобедренности некоторого треугольника, который ещё достроить нужно, а равенство углов будет следовать, ну скажем из их накрестлежания.
Вот так идучи задом наперёд, запутывая следы, стирая дополнительные построения автор задачи приходит к условию. И думает, что решающий изберёт ешо извилистый и запутанный путь. А сообразительный ученик возмёт да и опишет какую-нибудь окружность и покажет равенство хорд через равенство вписанных углов.
Чего это я? Чем навеяло? Что со мной? Где я? Кто вы все?

[maxmatem]

Sasha2
Просто задача, должна была быть решена в рамках первых трёх групп аксиоматики Гильберта, вот чего-то и заклинило.Да просто смотрю на чертёж, и не казались мне эти треугольники равными, а когда задачу на форум кинул, пошёл посидел и осенило!

[Алексей К.]

(gris!)

gris в сообщении #355837 писал(а):

Чего это я? Чем навеяло? Что со мной? Где я? Кто вы все?

Cher gris, ça va. Et, mieux encore, ça va bien.