С биномом или без?

[Busy_Beaver]

Моя племяшка принесла мне сегодня задачу: доказать, что десятичная запись числа $1999^6$ содержит по крайней мере три одинаковые цифры. Я сразу схватился за бином Ньютона и стал раскладывать по формуле. Но...

(Оффтоп)

...серебристый смех Ксении прервал мои выкладки: "А без бинома - слабо? Во-первых, я могу отправиться на машине времени в XVII век и тупо ликвидировать твоего Ньютона вместе с его хедвой (так она называет дифференциальное и интегральное исчисление), которую он бесстыдно стырил у Лейбница, и его биномом, что тогда делать будешь? А во-вторых, ты бы ещё просто умножил столбиком на бумажке Учись думать и смотри, как умные люди это делают!"

С этими словами, она продемонстрировала следующее решение:
$1999^6>1500^6=1000^6*1.5^6=10^{18}*(729/64)>10^{18}*10=10^{19}$. Таким образом, десятичная запись числа $1999^6$ содержит по крайней мере 20 цифр. Если больше 20, то задача решена (по принципу Дирихле должны быть минимум три одинаковые цифры). Если ровно 20, то каждая из цифр содержится ровно два раза, то есть число число $1999^6$ состоит из цифр 0, 0, 1, 1, ..., 9, 9, сумма которых равна 90, а значит, должно делиться на три, но оно не делится. Противоречие. Таким образом, утверждение доказано, и никаких биномов не нужно.

[gris]

Вы прямо Льюис Кэрролл!
Могли бы собрать задачи Ксении в книжку.
С делимостью на 3 весьма красиво.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #355783 писал(а):

Вы прямо Льюис Кэрролл!
Могли бы собрать задачи Ксении в книжку.
С делимостью на 3 весьма красиво.

(Оффтоп)

То, что Алан Тьюринг был гомосексуалистом, известно каждому. Но вот сплетни о педофилии Льюиса Кэролла - клевета.

Чтобы издать в Израиле книгу, нужно черт на печку не вскинет бабла, а я - инвалид и существую на пособие.

[gris]

Ну шо Вы, я же в хорошем смысле.
Имея в виду его "Историю с узелками".
Кстати, не знал! И про эппловское яблоко не знал. Недавно только просветил меня мудрый человек.
Задача из комбинаторики на тему: сколько существует натуральных чисел, в которых каждая цифра повторяется не более 3-х раз. Но после очень изящного решения Вашей племянницы даже считать не хочется.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #355787 писал(а):

Ну шо Вы, я же в хорошем смысле.
Имея в виду его "Историю с узелками".

Есть у меня эта книга. Классные, кстати, там задачи.

(Оффтоп)

А по поводу "излиться в малолетку" могу сказать вот что: Чайковский, конечно, был пе****ст, но не каждый пе****ст - Чайковский! Так что, если Кэролл и позволял себе иногда педофильничать, это не умаляет его математических и литературных достижений.

-- Пт сен 24, 2010 15:48:31 --

gris в сообщении #355787 писал(а):

И про эппловское яблоко не знал. Недавно только просветил меня мудрый человек.

Поясните, плиз, что там с эппловским яблоком случилось?

(Оффтоп)

Неужто с педофилией связано?

[Руст]

Решение с подсчетом количества цифр 21 я бы считал оптимальным для случайного числа. Однако для этого числа лучше действительно с помощью Бинома показать, что будет много нулей и девяток (за счет чередования знаков в разложении)
$(2*1000-1)^6=64*10^{18}-192*10^{15}+24*10^{13}-16*10^{10}+6*10^7-12*10^3+1=$
$=63808239840059988001$
Как видно 5 нулей, 3 девяток и 5 восьмерок (заранее не ожидаемых).

[caxap]

(Оффтоп)

Busy_Beaver в сообщении #355788 писал(а):

Поясните, плиз, что там с эппловским яблоком случилось?

Тьюринг умер, откусив яблоко с цианидом. Сравниваем. Хотя, по-моему, такой логотип появился по более простой причине -- основатель компании очень любит яблоки.

[AD]

(Небольшое обращение к автору)

Это самое. Busy_Beaver, а давайте в следующий раз поместите решения в тэг off хотя бы. Ну вот как этот текст. А то совсем не интересно - темы какие-то получаются ... мертворожденные что-ли ... остается только обсудить, как красиво было. А так дадите читателям хоть какой-то шанс самим порешать и поискать такие красивые ходы. А?

[Busy_Beaver]

caxap в сообщении #355845 писал(а):

(Оффтоп)

Busy_Beaver в сообщении #355788 писал(а):

Поясните, плиз, что там с эппловским яблоком случилось?

Тьюринг умер, откусив яблоко с цианидом. Сравниваем. Хотя, по-моему, такой логотип появился по более простой причине -- основатель компании очень любит яблоки.

(Оффтоп)

Как активный борец за права сексуальных меньшинств, я прекрасно осведомлён о том, каким именно образом был доведён до самоубийства Тьюринг. Но вот о том, что его смерть связана с фирмой "Эппл", честно скажу, не знал, хотя мог и догадаться.

-- Сб сен 25, 2010 02:18:09 --

AD в сообщении #355859 писал(а):

(Небольшое обращение к автору)

Это самое. Busy_Beaver, а давайте в следующий раз поместите решения в тэг off хотя бы. Ну вот как этот текст. А то совсем не интересно - темы какие-то получаются ... мертворожденные что-ли ... остается только обсудить, как красиво было. А так дадите читателям хоть какой-то шанс самим порешать и поискать такие красивые ходы. А?

В своде правил форума написано: "здесь за вас решать никто не будет". Посему я не желал произвести впечатление двоечника, умоляющего решить за него. Но Ваш совет принимаю, буду помещать решения в "оффтопик". Спасибо за совет!

[AD]

Ааааа, вон Вы куда загнули. Не-не, Вы не поняли. Олимпиадный раздел - как раз для того, чтобы предлагать другим решать задачи. Но здесь можно давать только олимпиадные задачи (то есть по уровню сложности), и публикация здесь как раз подразумевает, что Вы знаете решение (и Вам придется его предъявить, если попросят). Правило "здесь за вас решать никто не будет" относится к стандартным задачам из раздела "помогите решить/разобраться", типа "помогите решить систему линейных уравнений, я в этом ничего не понимаю, ааа", и т.п. То есть если даже там, в ПРР, попадаются сильно нетривиальные вопросы, то на них весьма часто дают полные решения, и это не страшно. Правило нужно для того, чтобы не обманывать преподавателей, подсовывая им чужие решения контрольных и пр., переписанных без понимания с форума - именно это считается наказуемым. В этом разделе правило проявляется в том, что категорически нельзя предлагать и обсуждать задачи, предложенные на еще не законченных заочных/онлайн олимпиадах, но не более того.

[VoloCh]

Красиво!
Шуточный вопрос: А можно ли без бинома и калькулятора, но с Ксенией доказать, что в этом числе нет семерок?