Злые инопланетные спецслужбы заперли Малдера и Скалли в
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерном гиперкубе, поместив их в комнату с координатами
![$(0, 0, \ldots, 0)$ $(0, 0, \ldots, 0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/7/4075c115524e68ffc6a188df8693abf382.png)
. Проанализировав ситуацию, агенты пришли к выводу, что в одной из вершин гиперкуба находится выход в родное трёхмерное пространство и что надо обходить все вершины в его поисках.
Скалли, не мудрствую лукаво, выбрала довольно простой способ обхода. Каждой вершине
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
с координатами
![$(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n)$ $(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/1/aa1c79bc1b3deb877ddce45d44c1783a82.png)
она сопоставила число
![$\alpha(e) = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \cdot 2 + \varepsilon_3 \cdot 4 + \ldots + \varepsilon_n 2^{n-1}$ $\alpha(e) = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \cdot 2 + \varepsilon_3 \cdot 4 + \ldots + \varepsilon_n 2^{n-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06c30800d87a17bcb7f7f51caad4fa0b82.png)
, после чего пустилась в путь по маршруту
![$\alpha^{-1}(0) \to \alpha^{-1}(1) \to \alpha^{-1}(2) \to \alpha^{-1}(3) \to \ldots \to \alpha^{-1}(2^n-1)$ $\alpha^{-1}(0) \to \alpha^{-1}(1) \to \alpha^{-1}(2) \to \alpha^{-1}(3) \to \ldots \to \alpha^{-1}(2^n-1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/6/516640647cfc30a41d661d655d5468e282.png)
. Малдер решил выпенриться. Он отождествил естественным образом вершины гиперкуба с элементами абелевой группы
![$\mathbb{Z}_2^n$ $\mathbb{Z}_2^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/0805f5cbaf92caa3ed85d18ad6bb1f9682.png)
, потом ввёл на ней умножение и единицу, представив эту группу как поле разложения многочлена
![$x^{2^n-1}+1$ $x^{2^n-1}+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/2/4528d00e85a36eb7df916285085e654f82.png)
над простым полем характеристики
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
, выбрал образующую
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
мультипликативной группы этого поля и пошёл по маршруту
![$0 \to 1 \to a \to a^2 \to a^3 \to \ldots \to a^{2^n-1}$ $0 \to 1 \to a \to a^2 \to a^3 \to \ldots \to a^{2^n-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/9/40940819531d26667c295e1b9b0d314982.png)
.
1) Чей маршрут короче, если мерить расстояние обычной евклидовой метрикой в
![$\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a86f4a11e2fbfc03de61d587ba826de82.png)
?
2) Сколько общих отрезков пути может оказаться на этих двух маршрутах?