Изоморфизм всех стабилизаторов.

[Enoid]

Здравствуйте!
В процессе поиска некоторых комбинаторных объектов возникли группы с интересными свойствами.
Пусть задан гиперграф $G$ на $n$ вершинах (можно считать, что это некоторое отношение на множестве $V$ мощности $n$).
Пусть $Aut(G)$ - группа автоморфизмов $G$.
Теперь потребуем, чтобы стабилизаторы всех вершин множества $V$ были изоморфны между собой (обозначим любой из стабилизаторов за $G'$).
Что в этом случай можно о группе $G$? Существуют ли такие группы? Может быть, они имеют особое название?
Интересен также тривиальный случай $G'={e}$.
Заранее спасибо.