УМО от суммы с переменным пределом

[id]

Дано, что $\{ X_i \}_{i=1}^{\infty}$-независимые одинаково распределенные случайные величины, $P(X_i=a)=P(X_i=b)=P(X_i=c)=\frac 1 3$. $a,b,c$ положительны.
Так же определена случайная величина ("момент остановки") $N = min \{i: X_i = c\}$.
Интересует условное ожидание $E[\sum\limits_{i=1}^{N} X_i |N=n]$

Пробовал сделать так:
Обозначим $I_i$ случайную величину, которая равна $0$ если $N>i$ и $1$ в противном случае.
Перепишем исходное как $E[\sum\limits_{i=1}^{N} X_i |N=n] = E[\sum\limits_{i=1}^{\infty} X_i I_i |N=n] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} E[X_i I_i | N=n]$. Будем считать, что последнее тождество закономерно (хотя я не уверен, но положительность величин что-то тут может давать).
Тогда остается подсчитать $E[X_i I_i | N=n] = \sum\limits_{j=a,b,c} j \frac {P(X_i = j, I_i = 1, N=n)} {P(N=n)}$
При $i>n$ все зануляется.
А как посчитать в остальных случаях? Независимостей вроде бы нет. Напрашивается, что для $i<n$ будет $\frac {a+b} 2$, для $i=n$ - $c$, но это не доказывал.

Или, может, есть другой способ?

[Alexey1]

id в сообщении #354571 писал(а):

Интересует условное ожидание $E[\sum\limits_{i=1}^{N} X_i |N=n]$

Например, если $N=2$, то
$E[X_1+X_2|N=2]=E[X_1+X_2|X_1 \neq c, X_2 = c]=$
$=E[X_1|X_1 \neq c, X_2 = c] +E[X_2|X_1 \neq c, X_2 = c]=$
$=E[X_1|X_1 \neq c]+E[X_2|X_2 = c]$.
Аналогично для $N=n$.

[id]

А вот такая

Цитата:

$E[X_1+X_2|N=2]$

запись оригинального условия точно оправдана? То есть вместо верхнего предела суммирования, который был случайной величиной, уже стоит константа из условного м.о.?

[Alexey1]

Какая же это случайная величина, когда $N=n$. Вот $E[\sum\limits_{i=1}^{N} X_i | N]$ является случайной величиной.

[id]

Да, верно, спасибо!

Только это совсем очевидно - или же только следует из того, скажем, что $\mathbb E [\xi \nu(\theta) | \theta = n] = \nu(n) \mathbb E [\xi | \theta=n]$? (если строго обосновывать)

[Henrylee]

В Вашем случае можно и попроще

$$ E\Bigg(\left.\sum\limits_{i=1}^NX_i\right|\left.N=n\Bigg)=\frac1{\Prob\{N=n\}}\int\limits_{\{N=n\}} \sum\limits_{i=1}^NX_i\,d\Prob, $$

откуда сразу видно нужное.

[id]

Да, и впрямь проще. Спасибо.