Вычислить сумму квадратов биномиальных коэффициентов

[truth]

$$\sum_{k=0}^n{(C_{n}^k)^2}$$

Рассмотрим тождество $(1+x)^n (1+x)^n = (1+n)^{2n}$.
Далее приравнивают в этом тождестве коэффициенты при $x^n$ и используя формулу

$$\sum_{k=0}^n{C_{n}^k x^k} = (1+x)^n$$

получают

$$C_{n}^n C_{n}^0 +C_{n}^{n-1} C_{n}^1+...+C_{n}^{n-k} c_{n}^k+...+C_{n}^0 C_{n}^n = C_{2n}^n$$

.

Я не могу разобраться в технике получения последнего выражения, если можно, помогите расписать все действия, описанные мною подробно...

[mihailm]

truth в сообщении #355271 писал(а):

Далее приравнивают в этом тождестве коэффициенты при $x^n$

Это ключевой момент доказательства

[truth]

Цитата:

Это ключевой момент доказательства

Да, я знаю, проблема в том, что я не пойму как это сделать технически...

[Утундрий]

truth в сообщении #355277 писал(а):

как это сделать технически...

поставить рядом $\sum_{k=0}^n{C_{n}^k x^k}$ да $\sum_{m=0}^n{C_{n}^m x^m}$, провозгласить "Перемножаю!" и собрать коэффициенты у одинаковых степерей икса.

[truth]

Ну это вроде ясно, а причём здесь приравниванме коэффициентов при $x^n$?

[Утундрий]

truth в сообщении #355289 писал(а):

Ну это вроде ясно

Тогда продемонстрируйте.

[truth]

$$(C_{n}^0 + C_{n}^1 x + C_{n}^2 x^2+...+C_{n}^n x^n) (C_{n}^0 + C_{n}^1 x + C_{n}^2 x^2+...+C_{n}^n x^n) =(C_{n}^0 + C_{n}^1 x + C_{n}^2 x^2+...+C_{n}^n x^n)^2 $$

[ИСН]

А, я понял, в чём корень зла Понимаете, на эту штуку справа можно смотреть двумя способами. Второй (он-то нам и нужен) - как на чью-то $2n$-ную степень.

[truth]

Цитата:

как на чью-то $2n$-ную степень.

$(1+x)^{2n}$? - в первом посте.

[ИСН]

Да-да, вот на эту.

-- Чт, 2010-09-23, 00:20 --

И в бином её разлагать тоже как $2n$-ную степень. Или это пояснение уже излишне?

[Sasha2]

А Вы еще вот так запишите и все получите

$$(C_{n}^0 + C_{n}^1 x + C_{n}^2 x^2+...+C_{n}^n x^n) (C_{n}^0 x^n+ C_{n}^1 x^{n-1} + C_{n}^2 x^{n-2}+...+C_{n}^n x^0) =(C_{n}^0 + C_{n}^1 x + C_{n}^2 x^2+...+C_{n}^n x^n)^2 $$

[Утундрий]

$\[ \begin{gathered} \left( {1 + x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k x^k } \hfill \\ \left( {1 + x} \right)^n \left( {1 + x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k x^k } \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m x^m } = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{m = 0}^n {C_n^k } C_n^m x^{k + m} } \hfill \\ \left( {1 + x} \right)^{2n} = \sum\limits_{s = 0}^{2n} {C_{2n}^s x^s } \hfill \\ \sum\limits_{s = 0}^{2n} {C_{2n}^s x^s } = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{m = 0}^n {C_n^k } C_n^m x^{k + m} } \hfill \\ x^n :C_{2n}^n = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^{n - m} } C_n^m \hfill \\ \end{gathered} \] $

[truth]

огромное всем спасибо, буду разбираться.

[mihailm]

вообще то тут есть один подводный камень -
если два многочлена равны почему равны их коэффициенты?
но обычно начинающие это не замечают,

т.е. вряд ли это стало причиной непонимания

[Joker_vD]

Цитата:

если два многочлена равны почему равны их коэффициенты?

По определению. По определению равенства произвольных объектов.