5 различных решений одной задачи

[Busy_Beaver]

(Оффтоп)

5 различных решений одной задачи или Как я проспорил сим-карту.

Моя племяшка поспорила со мной на сим-карту, что она найдёт не менее пяти различных решений любой (одной) олимпиадной задачи, которую я ей продиктую.
Недооценив способности тринадцатилетней девочки, я выбрал довольно лёгкую (но, всё-таки, олимпиадную) задачу.

Задача: Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 = z^3$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Источник задачи: XXXVIII Еекатеринбургская городская олимпиада, 1997-1998. Областной тур. 10 класс. 2-й день.

Через некоторое время Ксения выдала мне именно пять решений, публикую их здесь.

Идея первая: степени десятки.
====================
$10^2+30^2=10^3, 10000^2+30000^2=1000^3, ...,(10^{(3n-2)})^2+(3*10^{(3n-2)})^2=(10^{(2n-1)})^3$

Идея вторая: пифагоровы тройки.
=======================
$75^2+100^2=25^3, 600^2+800^2=100^3, ...$
То есть, берём любую пифагорову троечку (скажем 3,4,5) и увеличиваем в некоторое число раз, только надо позаботиться, чтобы последний квадрат был ещё и кубом.

Идея третья: степени двойки.
===================
$2^2+2^2=2^3, 16^2+16^2=8^3, ...,(2^{(3n-2)})^2+(2^{(3n-2)})^2=(2^{(2n-1)})^3$

Идея четвёртая: индукция.
==================
Одно решение существует: $2^2+11^2=5^3$.
Предположим, существует n решений.
Возьмём n-ое решение и умножим на 64.
Тогда из $2^2+11^2=5^3$ получается $16^2+88^2=20^3$, из него, в свою очередь выходит $128^2+704^2=80^3$ и так далее.

Идея пятая: пусть $x$ будет всегда равен $z$!
============================
$5^2+10^2=5^3, 10^2+30^2=10^3, 17^2+68^2=17^3, …, ((n+1)^2+1)^2+(((n+1)^2+1)\cdot(n+1)))^2=((n+1)^2+1)^3$

(Оффтоп)

Подведём итог: я с позором проспорил новенькую сим-карту :-)
Надеюсь, что Ксюша, вырастя (или «вырастев»? (короче, став взрослой)), поднимет человечество на следующую ступень развития. Да что там ступень! Её гения на целую Потёмкинскую лестницу хватит.

[Хорхе]

(Оффтоп)

выросши

[Busy_Beaver]

Хорхе в сообщении #355073 писал(а):

(Оффтоп)

выросши

(Оффтоп)

Во молодец! А я после 19 лет жизни в Израиле уже русский стал забывать

[Busy_Beaver]

Busy_Beaver в сообщении #355076 писал(а):

Хорхе в сообщении #355073 писал(а):

(Оффтоп)

выросши

(Оффтоп)

Во молодец! А я после 19 лет жизни в Израиле уже русский стал забывать

(Оффтоп)

А, кстати, как образовать деепричастие от слова "пить"? Пья? Пия? Могу сказать только "попивая" или "выпивая"...

[gris]

(Оффтоп)

Целая куча глаголов, особенно несовершенного вида, не образуют деепричастий (да и причастий), по крайней мере, в литературном языке:
Спать, лизать, беречь, лезть, пить, есть.

Однако с помощью приставок можно получать деепричастия с этими корнями, заодно и придавая смысловые оттенки:
Засыпая, сберегая, приберегая, отпивая, запивая, выпивая, слезая, залезая.
Можно употреблять деепричастия "прошедшего времени" - не евши, не пивши, не спавши она готовилась к олимпиаде. но они несколько неблагозвучны и небыдлом не употреблявши.
Или возвратные - просыпаясь, напиваясь, крадясь.

Пия - это уже стилизация под старину.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #355120 писал(а):

(Оффтоп)

Целая куча глаголов, особенно несовершенного вида, не образуют деепричастий (да и причастий), по крайней мере, в литературном языке:
Спать, лизать, беречь, лезть, пить, есть.

Однако с помощью приставок можно получать деепричастия с этими корнями, заодно и придавая смысловые оттенки:
Засыпая, сберегая, приберегая, отпивая, запивая, выпивая, слезая, залезая.
Можно употреблять деепричастия "прошедшего времени" - не евши, не пивши, не спавши она готовилась к олимпиаде. но они несколько неблагозвучны и небыдлом не употреблявши.
Или возвратные - просыпаясь, напиваясь, крадясь.

Пия - это уже стилизация под старину.

(Оффтоп)

А "она готовилась к олимпиаде" - это о ком (или, может быть, "о чём" (сегодня от искусственного интеллекта всего можно ожидать (и даже больше, чем всего (например, "вернувшись с работы домой, я был изнасилован компьютерной программой, победившей за час до этого на математической олимпиаде")))?)?

[zhoraster]

Срочно прекратить разворачивание дискуссии в оффтопиках!

(Оффтоп)

пить - пивая, пив или пивши (устаревшее)?

upd
Это было мое имхо. А вот как оно на самом деле:

gramota.ru писал(а):

Нормативна только одна форма деепричастия от глагола пить – пив. Фраза "пив сок, он поперхнулся" грамматически верна, хотя в живой речи вряд ли употребима.

Так что никаких "пивая" и "пивши".

[Cash]

Busy_Beaver, рано сдались!
Первая и третья идея идентичны. Можно было заставить подумать еще.
Все-таки, главная идея задачи - возведение комплексного числа в куб - не найдена.

[TOTAL]

$z=y$ - это потянет на идею?

Если считается, что это то же самое, что $z=x$ - идея, то можно $x=p(p^2+q^2), \; y=q(p^2+q^2)$