Интегральчик

[arqady]

Найти $\int\limits_0^1\ln x\ln(1-x)dx$.
Роман Березин придумал. У него это как-то из терии вероятности выскочило. Ответ не скажу, поскольку он существенная подсказка к решению.

[ИСН]

Ну, можно один из логарифмов тупо разложить в ряд.

[Утундрий]

Бе-бе-бе

[venco]

Утундрий в сообщении #354517 писал(а):

Бе-бе-бе

Она бы ещё промежуточные шаги показывала...

[arqady]

ИСН в сообщении #354515 писал(а):

Ну, можно один из логарифмов тупо разложить в ряд.

Да! Но эта идея почти никогда не работает. Вот если только Утундрий подскажет ответ...

[ИСН]

Что значит никогда не работает? $\int x^n\ln x\ dx$ берётся в элементарных. Брать по частям.
(Разумеется, я сначала посмотрел ответ. Какая разница.)

[venco]

А ответ легко получился если разложить в ряд $ln(1-x)$.

[EtCetera]

По-моему, можно еще проще: через интегрирование по частям свести к $\int\limits_0^1\dfrac{\ln (1-x)}{x}\,dx=-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=-\dfrac{\pi^2}{6}$ (откуда и ответ, на 2 единицы больший).

[arqady]

ИСН в сообщении #354522 писал(а):

Что значит никогда не работает?

Это Вы мне? Если да, то я это не говорил.
Повторю ещё раз: эта идея (разложить в ряд) почти никогда не работает.
Любопытно было бы посмотреть, как разложением в ряд взять вот такой интеграл: $\int\limits_0^1\ln(-\ln x)dx$.

ИСН в сообщении #354522 писал(а):

$\int x^n\ln x\ dx$ берётся в элементарных. Брать по частям.
(Разумеется, я сначала посмотрел ответ. Какая разница.)

Мне тоже сказали ответ, поэтому, думаю, и догадался разложить $\ln(1-x)$ в ряд.