Форма кривой, обеспечивающая максимальную силу притяжения

[Flooder]

Столкнулся с такой задачей.
Дана материальная точка массы $m$, и кривая имеющая постоянную линейную плотность $\[\lambda \] $ а так же конечную длину (соответственно, и конечную массу).
Найти такую форму кривой и расположение материальной точки, что сила притяжения между ними была максимальной.
Если решать "в лоб", можно рассуждать так: пусть точка находится в начале координат, а уравнение кривой $\[y = y(x)\] $.
Считая кривую симметричной относительно оси $y$, получаем, что отличной от нуля будет только проекция суммарной силы на ось $y$: $\[{F_y}\] $.
Далее, $\[d{F_y} = G \cdot m \cdot \frac{{\cos \alpha \cdot dM}} {{{r^2}}}\] $ , с учётом $\[dM = \lambda dl\] $ получим $\[{F_y} = G \cdot m \cdot \lambda \cdot \int {\frac{{\cos \alpha }} {{{r^2}}}dl = } G \cdot m \cdot \lambda \cdot \int {\left( {\frac{{y(x)}} {{{{({x^2} + y{{(x)}^2})}^{\frac{3} {2}}}}}\sqrt {1 + y'{{(x)}^2}} } \right)dx} \] $ Дальше надо искать функцию $\[y = y(x)\] $ обеспечивающую максимум последнему интегралу.
Но у меня такое впечатление, что эта задача имеет какое-то простое и изящное решение.
Может, у кого-нибудь будут какие-то идеи?

[ewert]

Flooder в сообщении #354368 писал(а):

что эта задача имеет какое-то простое и изящное решение.

Имеет. Надо плотненько-плотненько скрутить кривую около точечки.

(в смысле условий не хватает)

[Flooder]

ewert
Хм, ну вообще изначально задача была сформулирована на нахождение формы однородного тела, обеспечивающего максимальную силу притяжения материальной точки. Я подумал, что можно попробовать разбить тело на элементарные слои, вложенные друг в друга, и имеющие поверхностную плотность $\[\sigma \] $, и рассмотреть один такой слой; либо рассмотреть кривую, которая при вращении заметает контур этого тела. В случае со слоем ещё было стойкое ощущение, что что-то можно вытащить из выражения для телесного угла $\[\cos \alpha \cdot \frac{{dS}} {{{r^2}}} = d\Omega \] $, но увы, дальше так и не продвинулся

[Утундрий]

Flooder
Противоборствовать нечему. Всякая оптимизация - в смысле поиска экстремума - есть некий компромисс промежду противунаправленными тенденциями. Здесь же: сжать всю массу в точку и неограниченно к ней другу точку приближать, загоняя силу в $\infty$.
Ограничения придумывайте.

[Gravist]

Нормаль к центру круга?

Flooder в сообщении #354368 писал(а):

Найти такую форму кривой и расположение материальной точки, что сила притяжения между ними была максимальной.

Действительно, маловато начальных условий!

[venco]

Другими словами, требуется найти форму однородного тела фиксированного обьёма, чтобы сила притяжения к материальной точке была максимальна. Очевидно, точка должна быть на поверхности тела.

-- Пн сен 20, 2010 11:50:16 --

В такой формулировке форму найти довольно легко.

[мат-ламер]

Классического решения у задачи нет, но в обобщённом смысле, как последовательность кривых... У Янга я видел рассуждения насчёт обобщённых решений вариационных задач. Хотел поискать в сети книгу Янга по вариационному исчислению. Может кто помнит название?

[Flooder]

мат-ламер
venco
То есть, "объёмная" задача на самом деле проще?

[мат-ламер]

Flooder в сообщении #354464 писал(а):

мат-ламер
venco
То есть, "объёмная" задача на самом деле проще?

Она то проще, но это разные задачи.

[venco]

Flooder в сообщении #354464 писал(а):

То есть, "объёмная" задача на самом деле проще?

Это действительно другая задача, но зато она имеет осмысленное решение.

-- Пн сен 20, 2010 13:02:04 --

мат-ламер в сообщении #354472 писал(а):

Flooder в сообщении #354464 писал(а):

мат-ламер
venco
То есть, "объёмная" задача на самом деле проще?

Она то проще, но это разные задачи.

Не согласен. Исходная задача гораздо проще - решается без всяких вычислений, качественно.

[Flooder]

К сожалению, до качественного решения додуматься сейчас не могу.
В принципе, я пробовал рассмотреть задачу в цилиндрической системе координат.
В ней сила притяжения будет равна $\[G \cdot m \cdot \rho \cdot \iiint {\frac{{z \cdot r \cdot d\varphi drdz}} {{{{\left( {{r^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3} {2}}}}}}\] $
Считая что имеем дело с телом вращения, запишем $\[2\pi \cdot G \cdot m \cdot \rho \cdot \iint {\frac{{r \cdot z \cdot drdz}} {{{{\left( {{r^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3} {2}}}}} = }2\pi \cdot G \cdot m \cdot \rho \cdot \int\limits_0^a {dz} \int\limits_0^{r(z)} {\frac{{r \cdot z \cdot dr}} {{{{\left( {{r^2} + {z^2}} \right)}^{\frac{3} {2}}}}}} \] $
Откуда $\[2\pi \cdot G \cdot m \cdot \rho \cdot \int\limits_0^a {\left( {1 - \frac{z} {{\sqrt {r{{(z)}^2} - {z^2}} }}} \right)dz} \] $ (если нигде не напутал). Возможно, есть смысл этот последний интеграл разбить на два, и поискать минимум второго?

[Утундрий]

venco в сообщении #354473 писал(а):

Исходная задача гораздо проще - решается без всяких вычислений, качественно.

Flooder в сообщении #354368 писал(а):

Дана материальная точка массы , и кривая имеющая постоянную линейную плотность а так же конечную длину (соответственно, и конечную массу).
Найти такую форму кривой и расположение материальной точки, что сила притяжения между ними была максимальной.

venco
Эта?

[venco]

Утундрий в сообщении #354483 писал(а):

Эта?

Ну да. Вон, ewert в первом же ответе решил.

[Утундрий]

venco
Тю... А толку от такого "решения"? Доопределять задачу, однако, надо, чтобы что-то красивое вышло и по возможности без бесконечностей.

[BISHA]

Flooder в сообщении #354368 писал(а):

Считая кривую симметричной относительно оси $y$, получаем, что отличной от нуля будет только проекция суммарной силы на ось $y$: $\[{F_y}\] $.

Максимальная сила по оси ОХ. Выберите пределы интегрирования, а производную берите когда возьмете интеграл. У Вас верный подход, сделайте рисунок, правильно все проекции ... .