помогите с системой УрЧП (линейная)

[alphard]

Не получается решить линейную систему
$X_1 (F)=0, X_2(F)=0, X_3(F)=0$,
где
$F=F(x,y,z,w,\zeta)$,
$X_1 = \partial_{x}+\partial_{y}+\partial_{z}+\partial_{w},$
$X_2 = x\partial_{x}+y\partial_{y}+z\partial_{z}+w \partial_{w}-\zeta \partial_{\zeta},$
$X_3 = x^2\partial_{x}+y^2\partial_{y}+z^2\partial_{z}+w^2\partial_{w}-\left( (x+z)\zeta+C(\frac{w-y}{z-x}-1) \right) \partial_{\zeta}, \; C=const, $
причем, система является полной:
$\left[ X_1,X_2\right]=X_1, \; \left[ X_1,X_3\right]=2 X_2, \; \left[ X_2,X_3\right]=X_3.$
Если правильно понимаю, из вида алгебры операторов следует, что достаточно найти решение системы из первого и третьего уравнений, оно будет и решением второго.
Maple систему не берет, вручную что-то не получается тоже. Попробовал Mathematica - она, похоже, с системами не дружит.
Может, сделать какую хитрую замену переменных?.. Или кто-то знает, в чем посчитать можно? Есть идеи? Весьма благодарен за дельные советы или, тем более, за решение:)
На данный момент мне удалось найти решения вида:
$F\left((z-x)\zeta +C \ln{\frac{(z-x)(w-y)}{(z-y)^2}}, \frac{w-y}{(x-w)(z-w)}\right)=0.$
Это на основе тех огрызков, которые Maple выдает. Но у меня большие сомнения, что это - общее решение системы.

p.s: так же интересует (но в значитально меньшей степени) система
$X_1 = \sum_{(i)} \partial_{x_i},$
$X_2 = \sum_{(i)} x_i \partial_{x_i},$
$X_3 = \sum_{(i)} x_i^2 \partial_{x_i},$
при $F=F(x_1, ... , x_n), \; n \ge 4 $ (скобки Пуассона для нее те же).

[terminator-II]

Смирнов Курс высшей математики (у меня это том 4)

[alphard]

с теорией линейных систем на одну функцию я знаком (читал по Камке и по Гурса). систему первых двух уравнений могу решить. проблема с системой {{X1(F),X2(F)},X3(F)} - очень громоздко получается вручную, Maple выдает только частные решения. За ссылку на книгу все равно спасибо, может, чего нового вычитаю там.
Вообще интересует, есть ли нормальные программы, решающие системы такого вида? последнее время довольно часто приходится сталкиваться с этими системами. Вручную довольно долго ими заниматься, даже если они решаются нормально. Не очень расчитываю на то, что кто-то за меня сядет и вручную решит задачу эту, но может кто-то знает, в чём можно ее решить