Three semicircles

[ins-]

The point C is chosen on the segment AB. There are constructed semicircles k1(O1) and k2(O2) with diameters respectively AC and BC. It is drawn semicircle k with diameter O1O2 intersecting k1 and k2 at the points M and N respectively. Line l through M and N intersects k1 and k2 at the points P and Q respectively. Prove that PM=QN.

[ins-]

The problem is too easy. Don't loose your time.

[Dimoniada]

ins-, известна ли вам такая задача: "В некоторой 'солнечной' системе 3 планеты совершают эллиптические вращения (вокруг 'солнца') в одной плоскости. Орбиты планет попарно пересекаются ровно в 2 точках. Докажите, что общие хорды каждой пары орбит пересекаются в одной точке" ?

[ins-]

It's first time I'm hearing the problem. Where is it taken from? What is its story?
Kepler have a problem about the planets but it is different. Why do you ask the question? Is it your own problem?

Indeed I saw a pure geometric problem where "ellipses" were "circles".
http://www.cut-the-knot.org/proofs/circ ... eres.shtml
It is the link.

More about Kepler:
http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s ... ary_motion
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_pro ... relativity
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_orbit

I saw also interesting properties of Ellipse in Sangaku theorems.
In the university they showed also interesting problem:
if we have a light in a focii of an ellipse - all reflections are parallel.

[ins-]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 448671.jpg
Probably it is well known problem if someone have it as an avatar.

[Sasha2]

Вот честно говоря, в чем смысл то в этой задаче. Уверен, что есть какая-то теорема о трех окружностях, построенных на хордах одна другой. Тут надо просто таращиться в это нагромождение окружностей и ничего более. До олимпиадного уровня она явно не потянет.
А вот отвращение к геометрии точно может вызвать.

[Dimoniada]

На аватаре изображен другой рисунок, в моей формулировке 3 фокуса совпадают. Sasha2, я тоже думаю, что это не олимпиадная задача, а чуть-чуть выше

[ins-]

There is another statement with these three semicirclese - all three semicircles have common tangent.
It is also very easy problem.

The way to prove that segments are equal is to draw three diameters perpendicular to the common line.
Sasha2 - it is not so ugly statement as you said. There are more ugly statements it depents of the point of view and the taste of the people. For example http://www.math.ca/Competitions/CMO/examt/english86.pdf
problem 3 is not much beautiful.

[Sasha2]

Я ни в коей мере не хочу Вас обидеть, уважаемый ins.
Но мне действительно кажется, что Вы в этой задаче подменяете олимпидность запутанностью и нагроможденностью чертежа.

Что касается вообще общего подхода к таким задачам, то олимпиадным может быть не только задача, но и ее решение.
Вот Ваша предыдущая задача, очень красивое решение которой привел sergey1, - это действительно вещь, носящая олимпидный характер. Ну а это ни как. Короче, олимпиадная задача должна быть красивой или очень-очень интересной, ну а эта задача никак на это не вытягивает.

[ins-]

Sasha2 you are right. To create olympiad problem is not an easy task. It requires lots of work and good chance.

[Dimoniada]

Sasha2, я думала, речь идёт про мои эллипсы. Да, даже с эллипсами есть 1 промах - хоть и красивое утверждение, но оно не так легко доказывается. Поэтому это не олимпиадная задача, а скорее любительская "теорема". И, ins-, смею заметить, что не все тут изложенные вами задачи олимпиадные. Разные чертёжные "нагромождения" действительно не приветствуются среди олимпиадников и даже геометров. Поэтому с надеждой призываю вас некоторые ваши "громоздкие" задачи писать в разделе "Геометрия".

[ins-]

Some of my statements contains "нагромождения". The problems I post here are less confising possible.