Феномен выпуклости

[бобыль]

Про выпуклость у Босса написано:

Цитата:

Выпуклые задачи важны не потому, что распространены, а потому, что хорошо решаются. И хотя это похоже на "поиск под фонарем - ибо там хорошо видно", математика, как и Вселенная, именно так развивается. При этом знания, добытые в "выпуклой области", освещают многое за пределами.

Не знаю, но эти слова вызывают у меня смутное чувство протеста.

Еще похожая мысль, К. Лейхтвейс:

Цитата:

Теория выпуклых множеств представляет собой особо привлекательную математическую дисциплину. В ее рамках из немногих наглядных и разумных предпосылок можно делать важные заключения как в геометрии, так и в анализе. Поэтому не удивительно, что здесь быстрее, чем в других областях математики, неспециалистам удается включаться в работу и достигать самостоятельных результатов.

Но почему? Непонятно.

[Otez-osnovatel]

А что говорится про впуклости?

[бобыль]

Подобно другим понятиям, например таким, как топология или фильтр, выпуклость можно определить аксиоматически: это семейство подмножеств некоторого множества, содержащее само множество и замкнутое относительно пересечений (любого числа) своих элементов. Однако если топология связана с идеей непрерывности, а фильтр - с идеей последовательности, то выпуклость - с идеей чего?

Поскольку выпуклость появляется обычно при описании и решении задач на экстремум, то с ними она, видимо, и связана; например, локальный минимум выпуклой функции - он же и глобальный. Только это надо сказать как-то пограмотнее...

Otez-osnovatel писал(а):

А что говорится про впуклости?

Ничего не говорится. Наверное, впуклое множество - это пустое множество или объединение впуклых множеств?

[бобыль]

Возвращаясь к словам Босса про "поиск под фонарем", возьмем для примера теорему Минковского 1891 г. о том, что каждое выпуклое симметричное относительно начала координат множество в $R^n$, имеющее объем больше $2^n$, содержит по крайнем мере одну целую точку, отличную от начала координат. Спрашивается, при чем здесь выпуклость? Чтобы доказывать было легче?

[PAV]

Без дополнительных условий легко построить контрпример.

[бобыль]

PAV писал(а):

Без дополнительных условий легко построить контрпример.

Понятно, что легко. Но разве выпуклость в такой задаче принципиальна? Если бы существование в множестве точки с целочисленными координатами формулировалось как экстремальная задача, то выпуклось вроде была бы логичной. А так... непонятно.

[Алексей К.]

Позвольте привести пример моего поиска под фонарём с выпуклой лампочкой. По-моему, он весьма в тему.
Есть в геометрии малоизвестный сюжет --- плоские кривые с монотонной кривизной (Guggenheimer H.W. Differential geometry, p.48). Как и в этом источнике, буду их ниже называть спиралями. Есть теорема В.Фогта:
"Пусть $A$ и $B$ --- концевые точки спиральной дуги (выпуклой - только такие рассматривал Фогт, без перегиба), $\alpha,\beta$ --- углы между касательными к кривой в точках $A,B$ и хордой $AB$. Тогда $\beta>\alpha$, если кривизна возрастает от $A$ к $B$, $\beta<\alpha$, если кривизна убывает, и $\beta=\alpha$, если кривизна постоянна." (кривизна считалась положительной величиной).


Рисунок (верхний фрагмент) это иллюстрирует. Кривые $ATB_i$ составлены из двух круговых дуг, и утверждение становится "совсем очевидным". Углы в фомулировке считаются положительными, т.е. речь идёт о $|\alpha|,|\beta|$. Если мы перейдём к ориетнированным углам, измеренным относительно направления оси абсцисс, то в данном примере прийдется заменить $\alpha$ на $-\alpha$, и неравенства примут вид $\alpha+\beta>,=,<0$. Точнее ---

$$(1)\qquad\qquad sign(\alpha+\beta)=sign(k_B-k_A);$$

последний $sign$ как раз и указывает на характер монотонности кривизны от A к B.
(Есть много доказательств; простейшее ---

$$\cos\alpha-\cos\beta=\int_{\alpha}^{\beta}\sin\tau(s)\, {\mathrm d}\tau(s)= \int_0^l{y^\prime}(s)k(s)}{\mathrm d}s=-\int_0^l{y(s)}{\mathrm d}k(s)\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad |\alpha|\le|\beta|. $$

для случая неубывающей кривизны $k(s)$, $k(s)=\tau^\prime(s)$; $\tau(s)$ - наклон касательной ($\tau(0)=\alpha)$, $\tau(l)=\beta$); игра идёт на том, что ордината $y(s)$ выпуклой кривой знакопостоянна; мои кривые $ATB$, с кусочно-постоянной $k(s)$, это доказательство не охватывает).

В виде (1) теорема верна и для кривых с перегибом (нижний фрамент рисунка, последний пример), а выпуклые дуги есть частный случай.
Я отказался от условия выпуклости спиральной дуги и использовал лишь монотонность $k(s)$. И доказательство утверждения (1) нашлось. Естественно, несколько сложнее процитированного. Но всё равно простое.
Но --- оно основывалось на выпуклости функции $\tau(s)$, которая следует из монотонности $k(s)$...

бобыль писал(а):

Про выпуклость у Босса написано:

Цитата:

Выпуклые задачи важны не потому, что распространены, а потому, что хорошо решаются. И хотя это похоже на "поиск под фонарем - ибо там хорошо видно"...

Вот почему у меня цитаты из главного поста никакого протеста не вызывают...
Спасибо за внимание...

[бобыль]

Да, очень хороший пример, получилось вполне по Боссу: сначала доказали в выпуклом случае, т.е. в принципе, а потом эту выпуклость ослабили, хотя и не отбросили совсем. Я вот только не вполне понял, ведь ни про какой экстремум здесь не говорится, нет?

[Алексей К.]

Об экстремумах речи нет.
Выпуклость не ослабили, а именно отбросили совсем.

Вот дополнение:
Цитированное доказательство предназначалось для кривых типа (1) и (2) --- выпуклых.
Но автор не замечает (или, скорее, ему это не интересно), что оно годится и для кривой (3) --- невыпуклой, но, по-прежнему, со знакопостоянной ординатой и монотонной кривизной.
Как-то мне это показалось подозрительным --- такое слабое использование выпуклости...
Оказалось, теорема верна для кривых (4) и (5). И для (6) --- при неком естественном (кумулятивном) опредении граничных углов $\alpha,\beta$... Только бы кривизна была монотонной.
(Все кривые на рисунке --- куски спирали Корню)

[бобыль]

Но ведь выпуклость функции тау осталась, просто теперь она следует из монотонности ка?

[Алексей К.]

бобыль писал(а):

Но ведь выпуклость функции тау осталась, просто теперь она следует из монотонности ка?

Но ведь выпуклость функции $\tau$ не осталась, а случилась... Что уже есть предмет новой темы форума, "Феномен монотонности"...

[бобыль]

Ваш пример хорош, и он похож на случай с производной Кларка в теории экстремальных задач.

[бобыль]

Цитата:

Теория выпуклых множеств представляет собой особо привлекательную математическую дисциплину. В ее рамках из немногих наглядных и разумных предпосылок можно делать важные заключения как в геометрии, так и в анализе. Поэтому не удивительно, что здесь быстрее, чем в других областях математики, неспециалистам удается включаться в работу и достигать самостоятельных результатов.

Мне кажется, что выделенные мною слова явным образом указывают на присутствие наблюдателя и что дело, по существу, именно в нем.