Измеримые множества

[Хорхе]

Так вот же ж я привел пример неизмеримой. И, кстати, он работает даже в случае, если $D$ и $M$ --- отрезки.

Другое дело, если "пошевелить".

[AD]

terminator-II в сообщении #353735 писал(а):

$L^p(D,L^k(M))$

Ой, а теперь мне объясните тоже. В каком случае говорят, что банаховозначная функция $f:D\to L^k(M)$ принадлежит $L^p$?

[Хорхе]

Ну кагбе естественно: для банахова $X$
$\|f\|^p_{L^p(A\to X,\mu)}=\int_{A}\|f(x)\|_X^p\,\mu(dx)$.

[AD]

Ну даже в случае $X=\mathbb{R}$ это мало сказать, потому что из конечности такого интеграла не следует измеримость. Как понимается измеримость? Прообраз борелевского в $X$ множества измерим? (Угадал? )

Так, и как это всё соотносится с неизмеримым множеством, которое всякой вертикальной или горизонтальной прямой пересекается не более чем в одной точке?

[Хорхе]

Ну да, так и понимается. Вот и возьмем какой-нибудь неизмеримый график функции $g:[0,1]\to [0,1]$ и положим $f(t) = \mathbf 1_{\{g(t)\}}$. Это будет непрерывное отображение из $[0,1]$ в $L^\infty([0,1])$, но $f(t,x)$ не будет измерима. Другое дело, что мы можем этот пример причесать и взять "эквивалентную" $\widetilde f(t)\equiv 1$, для которой уже все в порядке.

То есть вопрос на самом деле в том, можно ли причесать.

[terminator-II]

AD в сообщении #353771 писал(а):

Ой, а теперь мне объясните тоже. В каком случае говорят, что банаховозначная функция $f:D\to L^k(M)$ принадлежит $L^p$?

Если она сильно измерима и $\|f(t,\cdot)\|_{L^k(M)}\in L^p(D)$
Интеграл от функции со значениями в банаховом пространстве называется интегралом Бохнера. Есть понятие сильной измеримости функции (к ней сходится поточечно последовательность простых функций) и слабой измеримости (измеримость композиции функции с любым линенйным непрерывным функционалом на банаховом пространстве). Ключевая вещь состоит в том, что для того, чтоб эта теория обладала обычными для интеграла Лебега теоремами банахово пространство должно быть сепарабельным, или по крайней мере функция должна быть сепарабельнозначной

Иосида Функциональный Анализ
Л Шварц Анализ
Фолланд Современный анализ

-- Sat Sep 18, 2010 17:49:00 --

AD в сообщении #353780 писал(а):

Так, и как это всё соотносится с неизмеримым множеством, которое всякой вертикальной или горизонтальной прямой пересекается не более чем в одной точке?

не понял

[terminator-II]

AD в сообщении #353712 писал(а):

Вроде ясно, что всегда можно пошевелить по одной точке на множество так, что пересечение станет пустым.

а ведь в этом месте м совсем забыли про непрерывность. Так, что не знаю, не знаю

[AD]

terminator-II в сообщении #353824 писал(а):

а ведь в этом месте м совсем забыли про непрерывность. Так, что не знаю, не знаю

А что не так с непрерывностью? Расстояние в $L^2$ не испортится, если функции на множестве меры ноль пошевелить. Или Вы о "моей" задаче говорите уже? Тогда конечно ...

terminator-II в сообщении #353797 писал(а):

не понял

Ну есть такое множество. Его характеристическая функция по каждой строчке и каждому столбику будет тождественно нулевой как элемент $L^q$ как при $q=p$, так и при $q=k$. Это я всё пытаюсь осмыслить

terminator-II в сообщении #353735 писал(а):

Функции из $L^p(D,L^k(M))$ измеримы в $D\times M$ или нет?

[terminator-II]

AD в сообщении #353851 писал(а):

А что не так с непрерывностью? Расстояние в $L^2$ не испортится, если функции на множестве меры ноль пошевелить.

это меня переклинило ,забудьте

AD в сообщении #353851 писал(а):

Ну есть такое множество. Его характеристическая функция по каждой строчке и каждому столбику будет тождественно нулевой как элемент $L^q$ как при $q=p$, так и при $q=k$. Это я всё пытаюсь осмыслить

я опять ничего не понял, если можно подробно и и самого начала

[AD]

Попробую еще раз (я вас не сильно отвлекаю? ) Пример Серпинского: Существует такое неизмеримое множество $E\subset [0,1]^2$, что $\forall x_0$ $\{(t,x)\in E:x=x_0\}$ состоит не более чем из одной точки, и $\forall t_0$ $\{(t,x)\in E:t=t_0\}$ состоит не более чем из одной точки.

Тогда неизмеримая функция $f(t,x)=\mathbf{1}_E(t,x)$ реализует тождественно нулевое (в частности, сколь угодно $L^p$-шное) отображение $D=[0,1]$ в $L_k(M=[0,1])$ ($x\mapsto f(\cdot,x)$).

Почему это рассуждение не отвечает на вопрос

terminator-II в сообщении #353735 писал(а):

Функции из $L^p(D,L^k(M))$ измеримы в $D\times M$ или нет?

Зыж, Хорхе об этом же говорит.

[terminator-II]

AD: Мне кажется, что отвечает. А ссылку на пример Серпинского можете дать? Вообще людям это может оказаться интересным. А на Вас то как ссылаться? [e-mail]

[AD]

В. И. Богачёв, Основы теории меры, Том 1, Глава 3, Задача 3.10.43. (upd: Ой, вот тут мне подсказывают, что существует издание, в котором это задача 3.10.41).
Там есть идея доказательства и ссылка на оригинальную статью:
Sierpi\'nski W. \textit{Sur un probl\`eme concernant les ensembles mesurables superficiellement.} Fund. Math. 1920. V. 1 P. 142-147. [284]