Равновеликие квадрат и окружность

[Sasha2]

Вот математики долгое время бились над задачей построения при помощи циркуля и линейки окружности, равновеликой данному квадрату.
Как известно, задача эта оказалась неразрешимой.
А если отвлечься и пофантазировать, представив, что данная задача разрешима при помощи циркуля и линейки, то вот тогда явилась бы она источником интересных геометрических задач на построение.
Или перефразируя немножко иначе. Допустим у нас есть струмент, позволяющий строить равновеликие окружности и квадраты.
Привести пример (нетривиальной, а желательно, конечно и красивой) задачи, в решении которой есть фраза "СТРОИМ ОКРУЖНОСТЬ, РАВНОВЕЛИКУЮ, ДАННОМУ КВАДРАТУ".

[mihailm]

К числам перейдите

[ИСН]

Тут ничего не будет. Понимаете, к примеру, кубические корни - это целый новый и интересный класс чисел. А "корень из пи и его товарищи" - не класс. Ну, или хреновый класс.

[Sasha2]

Честно говоря, мне кроме задачи построения тогда равновеликих треугольника и окружности тоже ничего в голову путного не приходит.
Но вот интересно еще вот что, равносильна ли задача построения равновеликих квадрата и окружности и задача на триссектирование любого угла.
Понятно, что ни та и ни другая не решабельны одним циркулем и линейкой, но может быть (опять же пофантазируем) если одна вдруг оказалась решабельной, то и вторая могла бы быть решена?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #353432 писал(а):

Привести пример (нетривиальной, а желательно, конечно и красивой) задачи, в решении которой есть фраза "СТРОИМ ОКРУЖНОСТЬ, РАВНОВЕЛИКУЮ, ДАННОМУ КВАДРАТУ"

Это очень трудно сделать. Давайте начнём с того, что окружность в принципе не может быть равновеликой квадрату.

[Sasha2]

Ну я же ни в коем мере не оспариваю это положение (о том что вообще невозможно построить равновеликие окружность и квадрат).

[ewert]

Дело не в том, что нельзя построить, а в том, что нельзя вообще сравнивать. Окружность -- это линия, а квадрат -- область.

[gris]

как же не может? Окружность радиуса 1 имеет длину $2\pi$. Квадрат со стороной $\pi/2$ имеет такой же периметр. Квадрат это и сама замкнутая ломаная линия и её внутренность.
Хотя если не лукавить, то ясно, что автор имел в виду круг. Хотя эти две задачи решаемы или нерешаемы одновременно друг с другом.
Вот же блин. Пока писал, уже всё сказали. Обидно даже.

[Sasha2]

Черт, да тут разночтение, я действительно ошибся, а изначально, конечно я имел в виду круг, в том смысле, что равновеликость по площадям.