Заблудившийся турист.

[photon]

Когда-то давно в школе решал эту задачку, а сейчас почему-то вспомнил:

Турист заблудился в большом лесу, но он точно знает, что до края леса ровно 2 км (край представляет собой прямую линию), только он не знает в какую сторону идти. Какой минимальный путь должен пройти турист, чтобы наверняка выйти к краю леса? (Предполагается, что лес очень густой и край не видно пока не выйдешь)

[cepesh]

$$2 + 2\cdot2\cdot\pi$$

? =)

[photon]

cepesh писал(а):

$$2 + 2\cdot2\cdot\pi$$

? =)

Нет, можно и меньше

[vbn]

А может быть $2+ 3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=2+6 \sqrt 2?$

[photon]

vbn писал(а):

А может быть $3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=6 \sqrt 2?$

Это по какому маршруту?

[vbn]

photon писал(а):

vbn писал(а):

А может быть $3 \cdot \sqrt {2^2+2^2}=6 \sqrt 2?$

Это по какому маршруту?

+ еще 2 км.

Идем прямо 2 км.
Затем под углом 45 гр. $2\sqrt 2$ км,
затем под углом 90 гр. $2\sqrt 2$ км,
и последний раз под углом 90 гр. $2\sqrt 2$ км.

Итого $2+6 \sqrt 2.$

[photon]

Не получается, после поворота на 45 Вы будете идти не по краю и не за ним, а в глубине леса - не принимается

[ИСН]

Этак Вы не выйдете на край, если он, например, расположен в 2 км от исходной точки и параллелен второму отрезку пути. Upd. Пока писал, опередили.
Предлагаю вариант: 2 км по прямой, потом повернуть под прямым углом и проделать 3/4 окружности с радиусом 2 км, потом ещё 2 км по прямой.

[photon]

ИСН писал(а):

Предлагаю вариант: 2 км по прямой, потом повернуть под прямым углом и проделать 3/4 окружности с радиусом 2 км, потом ещё 2 км по прямой.

Что-то много получается...

[ИСН]

Ну, всё-таки 4+3\pi - меньше, чем 2+4\pi.

[photon]

Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем $8.04$ (где-то так $\approx8.0329$) получается, если нигде не ошибся, а у Вас больше $13$

Но Вы на правильном пути и, если не ошибаюсь, то в вашем варианте последний участок можно брать меньше чем 2км

[sofyto]

[quote="photon"]Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем [math]$8.04$[/math] (где-то так [math]$\approx8.0329$[/math]) получается, если нигде не ошибся, а у Вас больше [math]$13$[/math]

Но Вы на правильном пути и, если не ошибаюсь, то в вашем варианте последний участок можно брать меньше чем 2км[/quote]

Takoe vpechatlenie, chto vash put 2 + 2 pi -- ne realno malo.

Vidimo venoe rasstojanie chut menshe chem + 3 pi. V nacale nuzhno projti chut bolshe 2km i potom po kasatelnoj k okruzhnosti r=2 doidti i vdol nee zatem. V konce srezat po pramoj, kak u ИСН. Chobi najti otvet nuzhno reshat neprijatnie trigonometricheskie uravnenija.

[Руст]

У меня получается $2\sqrt 3 +\frac{10\pi }{3}$, это примерно 13,936.
Способ решения. Двигаемся по прямой на растояние а>2. Проводим две касательные к окружности радиуса 2 (с центром в исходной точке). Передвигаемся по одной касательной до окружности и пробегаем по окружности до другой касательной. При этом путь равна $a+\sqrt{a^2-4}+2\pi +4\arcsin \frac{2}{a} .$
Минимальное значение при $a=\frac{4}{\sqrt 3 }$, что дает указанное значение.

[bot]

photon писал(а):

Я не помню как тогда решал, но сейчас мой результат меньше чем $8.04$ (где-то так $\approx8.0329$) получается...

Ну это вряд-ли.
Имхо, меньше, чем $2\cdot (1+\sqrt{3}+\frac{7\pi}{6}) \approx 12,7944844735193881... $ не получится.
Кстати, зачем 2 км - хватило бы и 1 км, а то я было раскатал губу, что у меня значительно лучше.
Доказательство минимальности (с этим туго) - это явно вариационная задача.

ЗЫ. Добавил после прочтения Руста. Похоже, но только до другой касательной не надо - от первой точки касания проходим 7/6 полуокружности, откуда по касательной срываемся с окружности и проходим ещё один радиус.

[photon]

Давайте вместе найдем, при каком $\alpha$ путь будет минимальным и какова его длина.
Я, безусловно, мог и ошибиться