Многочлены Чебышева

[Tuzembobel]

Известно, что многочлены Чебешева $T_n(x)$

$$ T_n(x)= \begin{cases} \cos n\arccos x , & x\in [-1, 1] \\ (\mbox{sgn}x)^n\ch n\ \mbox{arcch}\,|x|, & x\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty) \end{cases} $$

допускают представление:

$$ T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{n-2k}, $$

где $a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C_{n-k}^k2^{n-2k-1}x^{n-2k}$ (см. например Дзядык В.К. - Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.)
Заменим $x$ на $x+c$ ($c -$константа, т.е. сделаем перенос):
$\tilde{T}_n(x)=T_n(x+c)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_k(x+c)^{n-2k} = \sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_k\sum\limits_{j=0}^{n-2k}C_{n-2k}^jx^jc^{n-2k-j}$.
Как поменять порядок суммирования, т.е. разложить
$\tilde{T}_n(x)=\sum\limits_{j=0}^{n}b_{n-j}x^j$
(выразить новые коэффициенты $b_{n-j}$ через $a_k$, $k=0, 1, \ldots, [\frac{n}{2}]$?.
Ничего разумного у меня не выходит. Может поможете чуток, буду очень рад Вашей помощи!
(Исправил).

[PAV]

Что-то у Вас странно написано. Во-первых, не рекомендую использовать для новых многочленов ту же формулу, что и для старых, иначе очень легко запутаться. Лучше

$$ \widetilde{T}_n(x)=T_n(x+c)=\sum_k a_k(x+c)^k $$

После этого Вы как-то странно раскрываете скобки. Правильная формула бинома Ньютона имеет следующий вид

$$ (x+c)^k=\sum_{j=0}^k C_k^j x^j c^{k-j} $$

[Tuzembobel]

Извиняюсь за ошибку, неточности в пределах суммирования исправил.

[PAV]

Суммы переставляются местами по следующей формуле

$$ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} \sum_{j=0}^{n-2k} \cdots = \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{[\frac{n-j}{2}]} \cdots $$