Принцип ящиков, принцип Дирихле

[Свободная Навсегда]

Три числа a, b, c, образуют прогрессию, если b находится строго посередине a и c, то есть b-a = c- b. Например числа 1, 2, 3; числа 10, 20, 30; числа 7, 13, 19 образуют прогрессию.
Из чисел 1, 2, …, 99, 100 произвольным образом выбрали n чисел. Докажите, что среди выбранных чисел всегда найдутся три числа образующих прогрессию, если
а) n = 68, б) n<51 (Тема: Принцип ящиков, принцип Дирихле)

Помогите, пожалуйста, решить!!!... (Если можно - срочно!) Заранее спасибо!=)

[vbn]

01-е число: 1.
02-е число: 2 (R=1)
03-е число: 4 (R=2, 3)
04-е число: 8 (R=4, 6, 7)
05-е число: 13 (R=5, 9, 11, 12)
06-е число: 21 (R=8, 13, 17, 19, 20)
07-е число: 31 (R=10, 18, 23, 27, 29, 30)
08-е число: 45 (R=14, 24, 32, 37, 41, 43, 44)
09-е число: 66 (R=21, 35, 45, 53, 58, 62, 64, 65)
10-е число: 91 (R=25, 46, 60, 70, 78, 83, 87, 89, 90)
11-е число уже невозможно выбрать таким, чтобы R не повторялось.
Таким образом, даказано, что среди выбранных чисел всегда найдутся три числа,
образующих прогрессию, если n >10, и в частности, n=68.

[незваный гость]

Таким образом ничего не доказано. Поскольку рассмотрен только один вариант. Насчет 1-го числа — ладно, а ну как 2-ое 3? и т.д.

Что Вы, например, скажете, о такой последовательности: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, 31, 32, 37, 38, 40, 41, 82, 83, 85, 86, 91, 92, 94, 95. Если я не ошибаюсь, 24 числа

[vbn]

Скажу, что ошибся я

Пусть выбрано $n>2$ чисел и пусть
Расстояние между 1-м и 2-м и равно $R_1_1, 1-3 = R_1_2, 1-4 = R_1_3, ..., 1-n = R_1_(_n_-_1_).$
Расстояние между 2-м и 3-м и равно $R_2_1, 2-4 = R_2_2, 2-5 = R_2_3, ..., 2-n = R_1_(_n_-_2_).$
...
Расстояние между (n-1)-м и n-м и равно $R_(_n_-_1_)_n.$

Тогда общее число таких расстояний равно $1+2+3+...+(n-1)=\left [ 1+(n-1) \right ] \frac {n-1} {2}=\frac {n(n-1)} {2}.$

Если $n=25,$ то общее число расстояний равно 300.
Но всякое такое расстояние не может превышать 98-ти,
и значит из 300 расстояний (по принципу "ящиков") всегда найдутся три одинаковых $(98*3<300).$

Таким образом, доказано, что среди выбранных чисел всегда найдутся три числа,
образующих прогрессию, если $n>=25,$ и в частности, $n=68.$

[Brukvalub]

Из Вашего рассуждения напрямую следует лишь, что найдутся три пары чисел с одинаковыми разностями, например, 2-1=30-29=99-98. Ну и какие же три числа образуют тогда арифметическую прогрессию?

[Capella]

Мне кажется, что в б) может вот так имеется в виду n > 51, потому что вероятно бессмысленно при маленьких n. Кроме того возможно рассмотреть, как общий случай для а) с нижним пределом.

[RIP]

Для $n=68$ решение простое. Достаточно рассмотреть 33 тройки вида (k,k+1,k+2), k=1,4,7,..., и число 100. Если из каждой тройки взять не более 2 чисел, то всего чисел неболее $2\cdot33+1=67.$

Добавлено спустя 24 минуты 26 секунд:

А вот решение для n>51. Как минимум 26 чисел одной четности, обозначим $a_1<...<a_{26}$. Рассмотрим 25 чисел $(a_1+a_2)/2,(a_2+a_3)/2,...,(a_{25}+a_{26})/2$ и 24 числа $(a_1+a_3)/2,(a_2+a_4)/2,...,(a_{24}+a_{26})/2$. Это 49 различных чисел (геометрически это очевидно.) Хотя бы одно совпадает с одним из наших n>51.

[незваный гость]

Интересно, а 24 все же максимум, или нет? И откуда оно взялось, такое хорошее? (Похоже, что 25 требует уже верхнюю границу 109).