Сложные проценты

[amfisat]

Здравствуйте! Что-то запуталась в такой задаче: надо выяснить ежемесячную выплату по кредиту, если сумма кредита $P = 1000p.$, взят он на 12 месяцев, ставка по кредиту $x = 10\%$ годовых.
P.S. Каждый месяц (начиная с месяца взятия кредита) ежемесячная выплата по кредиту - это равные доли от суммы кредита плюс месячный процент от оставшейся части.
Пример: выплата в тот же месяц $S_1=90.6p.$.
Не понимаю, как считать месячный процент (явно не годовой, поделенный на 12 ).
Спасибо за любую помощь.

[gris]

Вот как раз годовой, делённый на 12 .
(на самом деле может зависеть от количества дней между датами выплат)
Тут нет сложных процентов.
Кстати, замечательные условия. Можно брать не задумываясь. Если нет скрытых комиссий. А они есть.

[Maslov]

Насколько я знаю, обычно берут годовой процент, делённый на 365, и умножают на количество дней в месяце. Но в данном случае вполне можно брать годовой, делённый на 12 (как и написал многоуважаемый gris).

Вот только непонятно
1. Что в этих процентах "сложного"? Под сложным процентом обычно понимают начисление процентов на проценты, и относится это понятие к вкладу, а не к кредиту.
2. Как за первый месяц получилось 90.6? У меня получается 91.66 (83.33 + 8.33).

[amfisat]

Нам на занятии объяснили так:
"Неправильный ответ может получаться, если предположить, что месячный процент равен годовому поделить на $12$. Это неправда, так как, например, если месячный процент равен $0.83\%$ (то есть $10/12$), тогда годовой на самом деле равен$ (1 + 0.0083)^{12} - 1 = 0.1047$, то есть $10.47\%$ годовых."

[gris]

Совершенно верно. Если банк выставляет месячный процент, то годовой вычисляется по правилу сложных процентов. Но если банк выставляет годовой процент, то месячный вычисляется как пропорциональная доля годового.
Всяко бывает, и банки - они же хитрые. Хотя им не выгодна Ваша схема сложных процентов. Сами посудите - в этом случае месячный платёж будет меньше.

[amfisat]

Я все равно не понимаю, как рассчитать эти выплаты. Хотя б за 1 месяц ...

[gris]

Каждый месяц постоянная часть выплаты - $\dfrac {1000}{12}$ плюс проценты от оставшейся части. Начиная с 1000, конечно. И вычитаем по 83 каждый месяц. Кредит уменьшается только на постоянную часть выплаты. Проценты не вычитаются!
Нетрудно составить формулу.
Так оно на практике. Но делать надо так, как преподаватель говорит

[amfisat]

$S_1=0.1*(1000-\frac{1000}{12})$ ? - что-то не то ...

[gris]

Ну почти.

$S_1=\dfrac{1000}{12}+1000\cdot\dfrac{0.1}{12}$

$S_2=\dfrac{1000}{12}+\left(1000-1\cdot\dfrac{1000}{12}\right)\cdot \dfrac{0.1}{12}$

[amfisat]

Не сходится с ответом: получается 91,6, а надо на 1 меньше (имею в виду $S_1$) ...

[gris]

тогда по Вашей методе:

$(1+p)^{12}=1,1$

$p=\sqrt[12]{1,1}-1=0,007974$ - месячный процент

$S_1=83,3333+7,974=91,3073$

[amfisat]

Нет, тоже не сходится ... Нам дали точные ответы за первые месяцы - сказали просто вывести формулу расчета. Вот эти ответы:

$$S_1=90.642$$

$$S_2=89.978$$

$$S_3=89.313$$

Не сходится пока никак ...

[Maslov]

Мне всё-таки кажется, что 0.7974 - это правильный процент, только в Вашем точном ответе первый месяц куда-то потерялся.

Давайте начнём с конца:
В течение 12-го месяца тело кредита составляет 1000/12 = 83.333, и процент за его использование 83.333 * 0.007974, итого
$S_{12} = 83.333 + 1 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 83.997$

Для 11-го месяца тело кредита составляет $2 \cdot 1000 / 12$
$S_{11} = 83.333 + 2 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 84.662$

Аналогично
$S_{10} = 83.333 + 3 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 85.326$
$S_{9} = 83.333 + 4 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 85.991$
...
$S_{4} = 83.333 + ~9 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 89.313$
$S_{3} = 83.333 + 10 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 89.978$
$S_{2} = 83.333 + 11 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 90.642$
$S_{1} = 83.333 + 12 \cdot 83.333 \cdot 0.007974 = 91.307$

Может быть, в Вашем правильном ответе просто месяцы с 0 нумеруются? Т. е. выплата в конце первого месяца -- это $S_0$, а $S_1$ -- это выплата в конце второго?