Теорема Стокса.

[Chromocenter]

Помогите разобраться с этим "чудищем"!
Мне кажется, что я тлько больше и больше запутываюсь. Во-первых, мне почему-то кажется, что всё её выражение обращается константнов ноль. в чём моя ошибка? Во-вторых, разве её можно применять для любых векторных полей? В третьих - как определить пределы отдельных интегралов в ней?
Заранее спасибо.[/math]

[Аурелиано Буэндиа]

А Вы про какую теорему Стокса? Про эту

$$ \oint_{L} (\vec{a},d\vec{l})= \int_S (rot \vec{a},d\vec{s}) ? $$

1. Для некоторых полей интегралы могут обращаться в ноль. Например, если поле потенциальное, т.е. $\vec{a}=\nabla \phi$, то интегралы будут равны нулю.
2. Теорема справедлива для непрерывно дифференцируемых полей.
3. Чтобы разобраться с пределами полезно рассмотреть какой нибудь пример.
Пример:

пусть $\vec{a}=(-y,x,0)$ и $L=\{x,y,z|x^2+y^2=1,\ z=0\}$. Будем интегрировать по против часовой стрелки

$$ \oint (\vec{a},d\vec{l})= \oint -ydx+xdy = \left\{ \begin{array}{cc} x=\cos\phi & \\ y=\sin\phi, & \phi\in [0,2\pi) \end{array} \right\} = $$

$$ \int_0^{2\pi} (\sin^2\phi + \cos^2\phi) d\phi = \int_0^{2\pi} d\phi =2\pi $$

[Chromocenter]

Да про эту... Но мне один момент не ясен: вот пишут, что по этой теореме поток через поверхность равен криволинейному интегралу второго рода по контуру её ограничивующего. Притом форма поверхности не имеет значения. И что же это верно для любого поля? Мне казалось что только для консервативного, но для консервативного работа по замкнутому контуру равна нулю если контур не заключает сингулярных точек. Я чувствую, что-то путаю, но не могу понять что именно.
И ещё вот ведь что выходит: функции, задающие поле, ведь могут быть и от трёх переменных, а интегрируются по двум в каждой части. В чём дело?[/math]

[Аурелиано Буэндиа]

Chromocenter писал(а):

И что же это верно для любого поля? Мне казалось что только для консервативного, но для консервативного работа по замкнутому контуру равна нулю если контур не заключает сингулярных точек.

В случае консервативного (потенциального) поля действительно получим ноль. Теперь о том, почему $\int (rot \vec{a},d\vec{s})$ не зависит от формы поверхности. Этот факт можно доказать, например, так
Рассмотрим две поверхности $S_1$ и $S_2$ натянутые на один и тот же контур, тогда

$$ \int_{S_1} (rot \vec{a},d\vec{s}) = \int_{S_2} (rot \vec{a},d\vec{s}) + \oint_{S_1+S_2} (rot \vec{a},d\vec{s}) $$

по теореме Гаусса

$$ \oint (rot \vec{a},d\vec{s}) =\int_V div(rot\, \vec{a})dV = 0 $$

т.к. $div(rot\, \vec{a})=0$, для любого $\vec{a}(\vec{r})$, поэтому

$$ \int_{S_1} (rot \vec{a},d\vec{s}) = \int_{S_2} (rot \vec{a},d\vec{s}) $$

Добавлено спустя 20 минут 50 секунд:

Chromocenter писал(а):

И ещё вот ведь что выходит: функции, задающие поле, ведь могут быть и от трёх переменных, а интегрируются по двум в каждой части. В чём дело?

Когда говорят о двумерных поверхностях, то, обычно, подразумевают, что они вложены в пространство большей размерности, т.е. в $\mathbb{R}^n$, где $n>2$. Думаю, говорить о теореме Стокса в $\mathbb{R}^2$ бессмысленно, поскольку вектор $d\vec{s}$ должен быть направлен по нормали к поверхности, а для этого нужно выйти из $\mathbb{R}^2$.

Но, возможно, я не очень понял вопроса, Вы хотите спросить справедлива ли теорема Стокса в $\mathbb{R}^n$, при $n>3$ или только при $n=3$?

[Capella]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Chromocenter писал(а):

И ещё вот ведь что выходит: функции, задающие поле, ведь могут быть и от трёх переменных, а интегрируются по двум в каждой части. В чём дело?

Когда говорят о двумерных поверхностях, то, обычно, подразумевают, что они вложены в пространство большей размерности, т.е. в $\mathbb{R}^n$, где $n>2$. Думаю, говорить о теореме Стокса в $\mathbb{R}^2$ бессмысленно, поскольку вектор $d\vec{s}$ должен быть направлен по нормали к поверхности, а для этого нужно выйти из $\mathbb{R}^2$.

Но, возможно, я не очень понял вопроса, Вы хотите спросить справедлива ли теорема Стокса в $\mathbb{R}^n$, при $n>3$ или только при $n=3$?

Прошу прощения, что вмешиваюсь, но по моему вообще имеются ввиду 5 разных переменных. Просто если предположиь, что поверхность с контором лежат в $\mathbb{R}^3$ и $d\vec{s}$ вектор от трёх переменных, то возможно имеется, что каждая из этих трёх компонет в свою очередь является функцией от двух других (пример переход к полярным координатам). Тогда надо проинтегрировать по правилам неявной функции, как вчера было показано в другой теме.

[Chromocenter]

Аурелиано Буэндиа - в принцыпе ясно, спасибо, только я не пойму: ведь через поверхность, которая ограничена S_1 и S_2 в случае любого поля не будет никакого потока? А ведь это необходио чтобы поток через каждую из этих поверхностей был бы одинаковым? Или я опять что-то путаю?
А во второй части я имел в виду, что в формуле теоремы Стокса три интеграла, каждый двойной, но в кажом из них стоит разность функций (производные от составляющих полz), которые могут быть и о трёх переменных:
$\int {\frac Q {dx}} - {\frac R {dy}}dxdy$
Ведь функции Q и R имеют вид: Q(x, y, z) и R(x, y, z) - чтобы адавать векторное поле в пространстве.

Добавлено спустя 5 минут 26 секунд:

Capella - да имел в виду (если вас понял прпвильно) это. А где вчера в теме говорилось об интегрировании неявной функции?? Я только о дифференцировании таких функций спрашивал...

[Capella]

Chromocenter писал(а):

Capella - да имел в виду (если вас понял прпвильно) это. А где вчера в теме говорилось об интегрировании неявной функции?? Я только о дифференцировании таких функций спрашивал...

Да, извините, я перепутала.

[Аурелиано Буэндиа]

Chromocenter писал(а):

Аурелиано Буэндиа - в принцыпе ясно, спасибо, только я не пойму: ведь через поверхность, которая ограничена в случае любого поля не будет никакого потока? А ведь это необходио чтобы поток через каждую из этих поверхностей был бы одинаковым? Или я опять что-то путаю?

В том то и дело, что не в любом случае. В общем случае $\oint_S (\vec{a},d\vec{s}) \neq 0$. Собственно, для того, чтобы поток равнялся нулю необходимо (согласно т. Гаусса), чтобы $\int_V div( \vec{a}) dV =0$. Ведь такой объемный интеграл не обязан быть всегда равным нулю.

Цитата:

А во второй части я имел в виду, что в формуле теоремы Стокса три интеграла, каждый двойной, но в кажом из них стоит разность функций (производные от составляющих полz), которые могут быть и о трёх переменных:

Строго говоря, теорема Стокса в форме

$$ \oint_L (\vec{a},d\vec{l})=\int_S (rot\, \vec{a}, d\vec{s}) $$

работает только для трехмерного простраства, поскольку ротор -- трехмерный объект. Поэтому предполагается, что поле $\vec{a}=\vec{a}(x,y,z)$ зависит от трех координат. При вычислении потока $\int_S (rot\, \vec{a}, d\vec{s})$ предполагается, что в трехмерном пространстве задана поверхность $S=\{(x,y,z)| f(x,y,z)=0 \}$, где $f(x,y,z)=0$ -- уравнение поверхности.

Существуют обобщения этой теоремы на другие размерности.

[Chromocenter]

Значит прежде,ч ем применит теорему Стокса для потока нужно проверить равен ли интерграл дивергента нулю?

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Существуют обобщения этой теоремы на другие размерности.

Везде пишат, что теорема Грина частный случай Стокса - на плоскости, и с ней всё ясно, а на число измерений больше, чем три мне не надо.
Но всё же как инттегрировать функцию о трёх переменных по двум - это же не число выдет, а выражение?

[Аурелиано Буэндиа]

Chromocenter писал(а):

Значит прежде,ч ем применит теорему Стокса для потока нужно проверить равен ли интерграл дивергента нулю?

Нэт. Ничего проверять не надо. Можно применять т. Стокса без проверок. Достаточно знать, что ваше поле дифференцируемо.

Chromocenter писал(а):

Но всё же как инттегрировать функцию о трёх переменных по двум - это же не число выдет, а выражение?

В формуле для потока, под интегралом, стоит скалярное произведение $(\vec{c},d\vec{s})$, которое расписывается так $d\vec{s}=\vec{n} ds$, где $\vec{n}$ -- единичный вектор направленный по нормали к поверхности. Поэтому получаем

$$ \int_S (\vec{c},d\vec{s}) = \int_S (\vec{c},\vec{n})\, ds $$

т.е. если мы знаем значение скалярного произведения $(\vec{c},\vec{n})$ в каждой точке поверхности, то вычисление потока сводится к двойному интегралу от скалярной функции $f(x,y,z)=(\vec{c}(x,y,z),\vec{n}(x,y,z))$

Пример.

пусть $\vec{a}=(-y,x,0)$. Вычислим $\int_S (rot \vec{a}, d\vec{s})$ по поверхности (круг) $S=\{(x,y,z)|x^2+y^2<1,z=0\}$. Вектор нормали выберем направленным вдоль оси $z$, т.е. $\vec{n}=\vec{k}$

Вычисляем ротор $rot \vec{a} = 2\vec{k}$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ -- орт вдоль оси $z$. Теперь находим скалярное произведение $(rot \vec{a}, \, \vec{n})=(2\vec{k},\vec{k})=2$. Вычисляем интеграл

$$ \int_S (rot \vec{a},d\vec{s}) = \int_S (rot \vec{a},d\vec{n}) ds = \left\{ ds=dxdy \right\}=\iint_S 2dxdy = 2 \iint_S dxdy = \left\{ S_{\text{кр.}}=\pi r^2 \right\} = 2 \pi. $$

Таким образом ответ является числом (а не вектором). Конечно, это простой пример. На практике могут возникать более сложные примеры.

[Chromocenter]

Спасибо, а что такое К?

[Аурелиано Буэндиа]

$\vec{k}$ -- единичный вектор вдоль оси $z$, т.е. вектор с координатами $(0,0,1)$. Он называется ортом.

[Chromocenter]

Только-то? Ну спасибо всем. Кажется разобрался...