Неравенства для диагоналей четырехугольника

[Sasha2]

Легко показывается, что в любом выпусклом четырехугольнике сумма его диагоналей меньше периметра и больше полупериметра этого четырехугольника.
А вот интересно узнать, эти два неравенства улучшаемы или нет?

[venco]

Вроде нет. Вытянутый прямоугольник - верхняя граница, вытянутый ромб - нижняя.

[Sasha2]

А вот еще хотелось бы узнать такой вопрос:
Если $AC$ и $BD $- это диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$, а $P $- это его периметр, и имеют место следующие неравенства:
$k\frac{P}{2}<AC+BD<mP$ (то очевидно наилучшими $k$ и $m$ являются 1 и 1, как Вы сами заметили по причине неулучшаемости), то верно ли, что наилучшим значение $k+m$ является 2?

[ИСН]

Наилучшим в какую сторону? Впрочем, одно из этих чисел можно уменьшить, другое увеличить, а друг с другом они не связаны никак

[Legioner93]

venco в сообщении #350692 писал(а):

Вроде нет. Вытянутый прямоугольник - верхняя граница, вытянутый ромб - нижняя.

Почему возможность предельного равенства исключает получить что-то вроде $d_1+d_2>\frac{P}{2}+\epsilon$, $\epsilon \to 0$ при $h \to 0$? $\epsilon$ зависит от соотношения сторон, например. Новое нер-во и будет искомым улучшением, нет? Спасибо.

[Sasha2]

ИСН в сообщении #350812 писал(а):

Наилучшим в какую сторону? Впрочем, одно из этих чисел можно уменьшить, другое увеличить, а друг с другом они не связаны никак

При каждом конкретном четырехугольнике оба этих неравенства выполняются при каких-то вполне определенных значениях k и m.
И не факт (ну мне так кажется), что существует четырехугольник, для которого оба этих неравенства ОДНОВРЕМЕННО должны выполняются при k=1 и m=1.
Да можно найти такой четырехугольник, чтобы левое не выполнялось при k меньшем единицы. Можно найти и такой четырехугольник, чтобы и правое не выполнялось при m, меньшим 1. А вот оба сразу не очень то я уверен.

Грубо говоря (если S-это сумма диагоналей, а P - это периметр), то правильно или нет будет считать, что эта задача нахождения минимума функции $\frac{P}{S}+\frac{S}{2P}$?

[VAL]

Sasha2 в сообщении #350686 писал(а):

Легко показывается, что в любом выпусклом четырехугольнике сумма его диагоналей меньше периметра и больше полупериметра этого четырехугольника.
А вот интересно узнать, эти два неравенства улучшаемы или нет?

См. ММ2. Там не только для четырехугольника, но и для произвольного выпуклого (или надо для выпуСклых? ) n-угольника.