измеримые функции

[terminator-II]

Было бы интересно построить ограниченную почти всюду на отрезке $[a,b]$ направленность измеримых функций
$\{f_\alpha(x)\},\quad |f_\alpha(x)|\le M<\infty$ , которая сходилась бы почти всюду к функции неизмеримой.

[Профессор Снэйп]

Может, я что-то не понял в условии...

Пусть $f$ --- неизмеримая ограниченная на отрезке $[a,b]$ функция (например, характеристическая функция неизмеримого множества). Пусть $A$ --- множество всех конечных подмножеств отрезка $[a,b]$ и для каждого $\alpha \in A$ пусть $f_\alpha$ равно произведению функции $f$ и характеристической функции множества $\alpha$. Ясно, что $A$, упорядоченное отношением включения, является направленным множеством. Куда сходится $\{ f_\alpha \}_{\alpha \in A}$? Мне почему-то кажется, что к $f$ в каждой точке отрезка $[a,b]$.

[Padawan]

Да, все так

[terminator-II]

Да глупый вопрос задал. Точнее говоря, мне этот вопрос не кажется глупым. Просто пример легко построить, как оказалось. По-моему это важно отмечать, что счетность принципиальна для всего, что связано с теорией меры.