Арифметическая и геометрическая прогрессии

[Хорхе]

ewert в сообщении #349785 писал(а):

(в первом приближении имеем $d=\dfrac{1}{2010^2}$, и эта оценка по порядку величины точна -- ну разве что в пару раз занижена

Вовсе не занижена, кстати. Разница с наилучшим $d$ имеет порядок $10^{-10}$.

[Busy_Beaver]

Sasha2 в сообщении #349799 писал(а):

Да понял, признаю свою ошибку. Как-то выскочило, что равенства соответствующих членов нет.

У меня часто такое бывает. Вижу, казалось бы, неопровержимый аргумент, противоречащий реальности, и начинаю думать: "ну всё, парадокс какой-то, приплыли". Но, спустя некоторое время, осознаю свою ошибку и всё встаёт на свои места.
Такое частенько случалось и с величайшими математиками в истории человечества (например, с Гильбертом, Пуанкаре, Паскалем, Сахаровым (последний был физиком, но это не суть важно)).

[ewert]

Хорхе в сообщении #349802 писал(а):

Вовсе не занижена, кстати.

Она не может быть не заниженной. Гляньте те выкладки ещё раз. Вплоть до суммы геометрической прогрессии там всё точно, не так ли? Ну а следующий шаг (когда условие ставится только на последний член этой суммы) -- это уже явное огрубление. Точное -- лишь по порядку. Фактически же получается занижение ровно (асимптотически) вдвое.

(да, а что абсолютная погрешность оценки $\dfrac{2}{2010^2}$ имеет порядок $10^{-10}$ -- это правда. Точнее, так: $d=\dfrac{2}{2010\cdot2009}-\varepsilon$, где $0<\varepsilon<1.65\cdot10^{-10}$.)

[Хорхе]

А, я думал, что заниженность имелась в виду относительно последнего неравенства, а Вы говорили про первое :)

[nov]

Эта задача есть в задачнике "Кванта" M 783, решение в №4 за 1983 год
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1983/04/p45.htm