Определение предела

[Sasha2]

Хотелось бы узнать в определении предела последовательности (а также и для других аналогихчных пределов) есть ли существенная принципиальная разница между неравенством $\[|{x_n} - a| < \varepsilon \]$ и неравенством $\[|{x_n} - a| \le \varepsilon \]$?

[malin]

В определении предела никакой разницы нет. Эти определения эквиваленты(для любого эпсилон больше нуля....). В остальных случаях, видимо, тоже.

[Sasha2]

Мне тоже кажется, что это например верно для случаев, когда базовое множество обладает тем свойством, что любая его открытая окрестность содержит изамкнутую и наоборот. Но всегда ли это выполняется? Все ли множества устроены именно так?

[malin]

Ну, можно просто взять и честно доказать эквивалентность определений.

Говорят, что последовательность$\{x_n\}$стремится к $a$ при $n\to\infty$, если
Опр. А: $\forall \varepsilon>0 \exists n_0\in\mathbb N : \forall n>n_0 |x_n-a|<\varepsilon$.

Опр. B: $\forall \varepsilon>0 \exists n_0\in\mathbb N : \forall n>n_0 |x_n-a|\leqslant\varepsilon$.

Следствие A=>B очевидно.
Покажем B$=>$A.

Пусть условие опр. B выполнено для некоторого $\varepsilon > 0$.
Тогда в силу того, что $\varepsilon$ любое, это условие будет выполнено и для $\varepsilon/2$, которое строго меньше $\varepsilon$. Теперь наше утверждение становится очевидным.

P.S. Все-таки, не совсем строго получилось, поздно уже... Скоро проснутся математики и напишут получше

[paha]

Sasha2 в сообщении #349717 писал(а):

Мне тоже кажется, что это например верно для случаев, когда базовое множество обладает тем свойством, что любая его открытая окрестность содержит изамкнутую и наоборот.

открытое и замкнутое -- не антонимы...

если понимать "окрестность" по бурбаки (в максимально общем смысле), то так и надо говорить "для любой окрестности точки $f(x)$ существует окрестность точки $x$, что..."

а ответ на стартовый вопрос, разумеется: "разницы нет"

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

malin в сообщении #349726 писал(а):

Скоро проснутся математики

Я ещё и не ложился.

Sasha2 в сообщении #349717 писал(а):

Мне тоже кажется, что это например верно для случаев, когда базовое множество обладает тем свойством, что любая его открытая окрестность содержит изамкнутую и наоборот. Но всегда ли это выполняется? Все ли множества устроены именно так?

Вы задали вопросов на небольшой (часов тридцать) курс общей топологии. Но, если говорить только о множестве вещественных чисел, то в каждом открытом интервале содержится некоторый замкнутый интервал и в каждом замкнутом интервале содержится некоторый открытый интервал. Простое доказательство: разделите интервал на три части. Остальное очевидно.