Полное численное решение алгебраических уравнений

[alekcey]

Когда мы перемещаемся непосредственно по линии графика функции от многочлена, то легко отслеживаем перемену знака и касание. С интервалом, думаю, тоже понятно. Практически таким же способом можно находить комплексные корни и все корни алгебраических систем. (Для перемещения по линии можно применить метод Драгилева… )
Все матпакеты находят все корни любого многочлена с вещественными коэффициентами. А некоторые ещё и все корни довольно приличных алгебраических систем (например, Математика). Из этих корней остаётся только выбрать нужные. Это всё, что знаю. Кому надо, тот поищет и найдёт в сети не только названия, но и описания методов и алгоритмов, примерно используемых в пакетах…

Раздел «Помогите решить/разобраться» предназначен для помощи в решении задач на основе строго обоснованных и хорошо изученных методов. Для обсуждения новых подходов предназначен раздел «Дискуссионные темы». Поскольку «метод», который пропагандирует alekcey, не является стандартным, 7.09.10 часть сообщений темы Построение ряда Штурма для многочлена выделено в эту тему в разделе «Дискуссионные темы (М)».

[AD]

alekcey в сообщении #349423 писал(а):

Для перемещения по линии можно применить метод Драгилева…

Ссылка?

[alekcey]

Метод Драгилева. Поисковики всегда положительно реагируют.
http://forum.exponenta.ru/viewtopic.php ... 07326d1af0
В теме имеются ссылки на официальные публикации, автор одной Пахоменков Ю.М. другой Дубанов А.А. Много примеров… Ещё много примеров находится на форуме по Маткаду сайта экспоненты. Имеются примеры и на построение поверхностей, и линий их пересечения… Там же на форуме можно спросить, если возникнут трудности с поиском, – народ подскажет…

[Null]

Я правильно понял,что предлагается ввести в уравнение параметр, найти корни при нулевом значении параметра, а потом построить неявную функцию корня от параметра с помощью дифура и метода коши?

[alekcey]

Null в сообщении #349487 писал(а):

Я правильно понял,что предлагается ввести в уравнение параметр, найти корни при нулевом значении параметра…

Как-то так. Но параметр не вводится в отличие от метода гомотопии (или он же метод продолжения по параметру). Параметр всегда присутствует как длина самой кривой. В случае нескольких степеней свободы, мы можем выбирать произвольные направления в соответствующих множествах. Примерно, как при численном решении уравнений в частных производных. И ищутся не совсем решения при нулевом значении (корни – это не очень правильно, если речь вообще о СНУ), а просто любая точка, которая принадлежит множеству решений, и в которой все частные производные исходного уравнения одновременно не обращаются в 0. Заметьте, именно все одновременно, а не как в теореме о неявной функции. И от этой точки мы строим решение в обоих направлениях, если не имеем сведений о замкнутости кривой, и в любом одном, когда имеем. Длину кривой просто принимаем за “0” в этой точке… Обычно, конечно, решается численно, но, бывает, пакет радует буквенным решением…

Null в сообщении #349487 писал(а):

… а потом построить неявную функцию корня от параметра с помощью дифура и метода коши?

Почему мы строим неявную функцию “корня” от параметра? Именно явную, пусть, численно, но явную…

[AD]

alekcey в сообщении #349476 писал(а):

Метод Драгилева. Поисковики всегда положительно реагируют.
http://forum.exponenta.ru/viewtopic.php ... 07326d1af0
В теме имеются ссылки на официальные публикации, автор одной Пахоменков Ю.М. другой Дубанов А.А. Много примеров… Ещё много примеров находится на форуме по Маткаду сайта экспоненты. Имеются примеры и на построение поверхностей, и линий их пересечения… Там же на форуме можно спросить, если возникнут трудности с поиском, – народ подскажет…

А теперь можно нормальную ссылку?

Вы предлагаете пролистать 30 страниц форумной темы, где еще какой-то странный персонаж с подозрительно знакомым ником потёр все свои сообщения? Пожалуйста, проявите сострадание к своим собеседникам!!

В этом разделе форума мы не предполагаем наличия у участников доступа ко всем статьям на свете, поэтому желательно по возможности дать прямую ссылку на тексты статей, если это ничему там не противоречит.

[alekcey]

Да, персонаж странный, но какой есть. Если всё дело в шашечках, то, наверное, лучше будет удалить и здешние мои сообщения, чем продолжать мучить народ. Ничего не значит, что некоторые из собеседников за пять с лишним лет были удовлетворены существующим видом информации плюс общение, – в заботе о благе всех остальных, Вам, несомненно, лучше знать, как поступить…

[Null]

явная функция y=f(x)
неявная функция F(x,y)=0
Явную функцию можно сразу считать, а неявную еще получить надо.
Можете пример метода привести, а то я не очень понял что там написанно?

[alekcey]

Null в сообщении #349702 писал(а):

явная функция y=f(x)
неявная функция F(x,y)=0...
Можете пример метода привести, а то я не очень понял что там написанно?

Знаете, так тяжело общаться. Уже давно стало понятно, когда человек хочет разобраться, а когда простая трата времени, перемежаемая жонглированием словами. Примеров там было предостаточно…
Хотите разобраться с методом Драгилева непосредственно на вещественных корнях полинома? – начинайте. Предлагайте пример, приступайте (ем) к его решению, а вопросы задавайте поэтапно, чтобы было понятно, в каком месте они возникают. Думаю, текущая тема это вполне позволяет сделать, хотя, как видите, в процесс общения всегда может вмешаться потусторонняя сила... Но в любом случае есть личные сообщения и целиком есть сайт экспоненты…

[Null]

То есть вы советуете искать метод Драгилева в интернете? По вашей ссылке что-то странное находиться.

[alekcey]

Null в сообщении #349939 писал(а):

То есть вы советуете искать метод Драгилева в интернете? По вашей ссылке что-то странное находиться.

Насколько мне помнится, в одном из моих Вам советов было предложение перейти к конкретному Вашему примеру…
А ссылку проверил, – там, согласен с Вами, – находит”ь”ся действительно что-то странное, скажу больше, его там много. При этом оно давно работает, успешно решая СНУ различных видов. Например, вещественные корни многочленов даже как-то неловко упоминать рядом с большинством задач, ну, разве что ещё немного можно затронуть корни комплексные. Странность же в том, что оно не выходит за пределы знаний второго курса. То есть, чтобы странное не переросло в другие формы, надо, наверное, начать с курса первого …

[Null]

Ну пусть уравнение $(x-1)^2=0$
Надо решить систему
$(x-1)^2=y$
$y=0$
Берем 1ое уравнение и точку (0;1) на нем.
Имем
$\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+4{(x-1)}^2}}$
$\frac{dy}{ds}=\frac{2(x-1)}{\sqrt{1+4{(x-1)}^2}}$
Вычисляем
$x_{n+1}=x_{n}+\frac{dx}{ds}\Delta s$
$y_{n+1}=y_{n}+\frac{dy}{ds}\Delta s$
положив $\Delta s=1e-3$
Так? Если так то что дальше?

[alekcey]

Мы решаем не систему, а именно одно уравнение:
$(x-1)^2-y=0;$
Получаем полный дифференциал от функции двух переменных, и решаем однородное линейное уравнение с одним уравнением и двумя переменными (d()):

\[ \begin{array}{l} (2x - 2)dx - dy = 0; \\ \left\{ \begin{array}{l} dy = 2x - 2; \\ dx = 1; \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]

Поскольку Вы начальную точку взяли довольно удобную, то, решая подобную систему влево и вправо, Вы зафиксируете все перемены знака y, а ограничение по x можно взять в лоб из оценки области корней…
А так всё Вы правильно поняли, только нормировка немного лишняя, она нужна, ну, когда нам надо ещё считать настоящую длину кривой (как инвариант), а для поиска решений она не нужна. Всё очень просто… Можно переходить к полному решению систем алгебраических уравнений, если хотите, конечно…

[Алексей К.]

alekcey в сообщении #350036 писал(а):

\[ \left\{ \begin{array}{l} dy = 2x - 2; \\ dx = 1; \\ \end{array} \right. \]

Здесь $d$ --- какой-то множитель или по-прежнему дифференциал?

[Null]

Сразу несколько минусов метода:
1.При маленьком шаге будет работать долго, при большом метод может перепрыгнуть через 2 близких корня.
2.Решение дифура может сильно отклониться от истинной линии.
3.Получился простой перебор точек. При чем здесь Драгилев?
Учтите что данная конкретная задача заключается в поиске корней 1ого уравнения, а этот метод слишком общий. Это пальба из пушки по воробьям, она промахивается.